Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Kette/Zerlegungsgruppen/Galoisgruppen/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper  ${}K=Q(R)$  und sei  ${}K\subseteq M$  eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}T$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}M$. Es sei  ${}N\subseteq G$  ein Normalteiler von ${}G$ mit Restklassengruppe  ${}H=G/N$  und es sei  ${}S=T^{N}$  und  ${}L=M^{N}$  der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem ${}H$ galoissch operiert mit Fixring ${}R$. Es sei ${}{\mathfrak {r}}$ ein Primideal von ${}T$ über ${}{\mathfrak {q}}$ in ${}S$ und ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}G_{\mathfrak {r}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {r}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Gruppenhomomorphismen vorliegt, wobei die horizontalen Abbildungen von Fakt herrühren (alle Erweiterungen der Restekörper seien separabel), die linke Abbildung von Aufgabe herrührt und die rechte vertikale Abbildung durch die Körperkette

${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {r}})\,$

gegeben ist.

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