Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Kette/Zerlegungsgruppen/Galoisgruppen/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper  $K=Q(R)$  und sei  $K\subseteq M$  eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $T$ der ganze Abschluss von $R$ in $M$. Es sei  $N\subseteq G$  ein Normalteiler von $G$ mit Restklassengruppe  $H=G/N$  und es sei  $S=T^N$  und  $L=M^N$  der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem $H$ galoissch operiert mit Fixring $R$. Es sei $𝔯$ ein Primideal von $T$ über $𝔮$ in $S$ und $𝔭$ in $R$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

$\begin{array}{cccc}{G}_{𝔯}& \stackrel{}{⟶}& \mathrm{Gal}(\kappa (𝔯)/\kappa (𝔭))& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ H_{𝔮}& \stackrel{}{⟶}& \mathrm{Gal}(\kappa (𝔮)/\kappa (𝔭))& \end{array}$

von Gruppenhomomorphismen vorliegt, wobei die horizontalen Abbildungen von Fakt herrühren (alle Erweiterungen der Restekörper seien separabel), die linke Abbildung von Aufgabe herrührt und die rechte vertikale Abbildung durch die Körperkette

$\kappa (𝔭)\subseteq \kappa (𝔮)\subseteq \kappa (𝔯)$

gegeben ist.

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