Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Kette/Zerlegungsgruppen/Galoisgruppen/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq M$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}T$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}M$. Es sei ${}N\subseteq G$ ein Normalteiler von ${}G$ mit Restklassengruppe ${}H=G/N$ und es sei ${}S=T^{N}$ und ${}L=M^{N}$ der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem ${}H$ galoissch operiert mit Fixring ${}R$. Es sei ${}{\mathfrak {r}}$ ein Primideal von ${}T$ über ${}{\mathfrak {q}}$ in ${}S$ und ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}G_{\mathfrak {r}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {r}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Gruppenhomomorphismen vorliegt, wobei die horizontalen Abbildungen von Fakt herrühren (alle Erweiterungen der Restekörper seien separabel), die linke Abbildung von Aufgabe herrührt und die rechte vertikale Abbildung durch die Körperkette

${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {r}})\,$

gegeben ist.

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