Zahlbereich/Galoiserweiterung/Artinsymbol/Bemerkung

Es sei ${}R\subseteq S$ eine Erweiterung von Zahlbereichen zu einer Galoiserweiterung ${}Q(R)=K\subseteq Q(S)=L$ mit Galoisgruppe ${}G$. Wenn ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ aus ${}R$ unverzweigt in ${}S$ und ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal darüber ist, so liegt nach Fakt  (3) ein kanonischer Isomorphismus zwischen der Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ und der zyklischen Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))$, die vom Frobenius bzw. einer Frobeniuspotenz (siehe Fakt) erzeugt wird. Man nennt daher auch den entsprechenden Erzeuger der Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ den Frobenius. Dafür schreibt man

${\left({\mathfrak {q}},L/K\right)}$

und spricht vom Frobenius. Es ist also ${}{\left({\mathfrak {q}},L/K\right)}\in G_{\mathfrak {q}}\subseteq G$, und man betrachtet diesen Frobenius als Element der Galoisgruppe. Wenn ${}{\mathfrak {q}}'$ ein weiteres Primideal über ${}{\mathfrak {p}}$ ist, so sind nach Fakt die Zerlegungsgruppen über

$G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow G_{{\mathfrak {q}}'},\,\sigma \longmapsto \tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1},$

zueinander isomorph und zwar konjugiert in ${}G$. Insbesondere sind dann die Frobenii zueinander konjugiert und bilden eine Konjugationsklasse. Wenn zusätzlich eine abelsche Erweiterung vorliegt, so stimmen diese Frobenius-Automorphismen überein und hängen nur von dem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ aus ${}R$ ab. Man bezeichnet diesen Frobenius mit ${}{\left({\mathfrak {p}},L/K\right)}$ und spricht vom Artinsymbol.