Zentralfeld/t^2u^2 durch v/Lösung/Beispiel

Wir betrachten das Zentralfeld zur Funktion

$g\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x,y)\longmapsto g(t,x,y)={\frac {t^{2}x^{2}}{y}},$

also das Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto {\frac {t^{2}x^{2}}{y}}\cdot \left(x,\,y\right)=\left({\frac {t^{2}x^{3}}{y}},\,t^{2}x^{2}\right),$

und die Anfangsbedingung ${}\varphi (0)=(4,-3)$. Um dieses Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir gemäß Fakt die eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung

${}z'=g(t,4z,-3z)\cdot z={\frac {t^{2}16z^{2}}{-3z}}\cdot z=-{\frac {16}{3}}t^{2}z^{2}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}z(0)=1$ lösen. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen, nach Fakt ist

${}z(t)={\frac {1}{{\frac {16}{9}}t^{3}+1}}\,$

die Lösung mit ${}z(0)=1$. Daher ist

${}v(t)={\frac {1}{{\frac {16}{9}}t^{3}+1}}\left(4,\,-3\right)\,$

die Lösung des Anfangswertproblems zum Zentralfeld.