Zerfällungskörper/Ist eindeutig/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den Grad . Wenn der Grad eins ist, so ist und das Polynom zerfällt bereits über in Linearfaktoren. Dann gehören alle Nullstellen von in einem beliebigen Erweiterungskörper zu selbst. Also ist auch . Es sei nun und die Aussage sei für kleinere Grade bewiesen. Dann zerfällt über nicht in Linearfaktoren. Daher gibt es einen irreduziblen Faktor von mit und ist nach Fakt und nach Fakt eine Körpererweiterung von vom Grad . Da als Faktor von ebenfalls über und über in Linearfaktoren zerfällt, gibt es -Algebrahomomorphismen und . Diese sind injektiv, so dass sowohl von als auch von ein Unterkörper ist. Nach Fakt sind dann und Zerfällungskörper von . Nach Fakt ist

so dass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Es gibt also einen -Algebraisomorphismus

Dieser ist erst recht ein -Algebraisomorphismus.

Zur bewiesenen Aussage