Beweis
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den
Grad
. Wenn der Grad eins ist, so ist
und das Polynom zerfällt bereits über in Linearfaktoren. Dann gehören alle Nullstellen von in einem beliebigen Erweiterungskörper
zu selbst. Also ist auch
. Es sei nun
und die Aussage sei für kleinere Grade bewiesen. Dann zerfällt über nicht in Linearfaktoren. Daher gibt es einen irreduziblen Faktor von mit
und
ist nach
Fakt
und nach
Fakt
eine Körpererweiterung von vom Grad . Da als Faktor von ebenfalls über
und über
in Linearfaktoren zerfällt, gibt es -Algebrahomomorphismen
und .
Diese sind injektiv, sodass sowohl von
als auch von
ein Unterkörper ist. Nach
Fakt
sind dann
und
Zerfällungskörper von
.
Nach
Fakt
ist
-
sodass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Es gibt also einen -Algebraisomorphismus
-
Dieser ist erst recht ein -Algebraisomorphismus.