Zweidimensionale Sphäre/Kählermodul/Lokal frei/Nicht frei/Beispiel

Wir betrachten die reelle Sphäre

S^{2} = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} \subseteq ℝ^{3}

mit dem affinen Koordinatenring

R = ℝ [X, Y, Z] / (X^{2} + Y^{2} + Z^{2} - 1) .

Der $R$ -Modul der Kählerdifferentiale ist nach Fakt gleich

Ω_{R / ℝ} = R d X \oplus R d Y \oplus R d Z / (X d X + Y d Y + Z d Z) .

Eine direkte Überprüfung zeigt, dass die reelle Sphäre glatt ist. Nach Fakt ist somit $Ω_{R / ℝ}$ lokal frei (von konstantem Rang $2$ ). Dies kann man auch direkt von der Darstellung her begründen, siehe Aufgabe. Dagegen ist $Ω_{R / ℝ}$ nicht frei. Dies ist eine algebraische Version des Satzes vom Igel, dass man ihn nicht glattkämmen kann, also die Stacheln nicht wirbelfrei tangential an die Kugel anlegen kann.