Zweidimensionale Sphäre/Kählermodul/Lokal frei/Nicht frei/Beispiel

Wir betrachten die reelle Sphäre

${}S^{2}={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

mit dem affinen Koordinatenring

${}R=\mathbb {R} [X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right)}\,.$

Der ${}R$-Modul der Kählerdifferentiale ist nach Fakt gleich

${}\Omega _{R{|}\mathbb {R} }=RdX\oplus RdY\oplus RdZ/(XdX+YdY+ZdZ)\,.$

Eine direkte Überprüfung zeigt, dass die reelle Sphäre glatt ist. Nach Fakt ist somit ${}\Omega _{R{|}\mathbb {R} }$ lokal frei (von konstantem Rang ${}2$). Dies kann man auch direkt von der Darstellung her begründen, siehe Aufgabe. Dagegen ist ${}\Omega _{R{|}\mathbb {R} }$ nicht frei. Dies ist eine algebraische Version des Satzes vom Igel, dass man ihn nicht glattkämmen kann, also die Stacheln nicht wirbelfrei tangential an die Kugel anlegen kann.