Zweidimensionale Sphäre/Kählermodul/Lokal frei/Nicht frei/Beispiel

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Wir betrachten die reelle Sphäre

mit dem affinen Koordinatenring

Der -Modul der Kählerdifferentiale ist nach Fakt gleich

Eine direkte Überprüfung zeigt, dass die reelle Sphäre glatt ist. Nach Fakt ist somit lokal frei (von konstantem Rang ). Dies kann man auch direkt von der Darstellung her begründen, siehe Aufgabe. Dagegen ist nicht frei. Dies ist eine algebraische Version des Satzes vom Igel, dass man ihn nicht glattkämmen kann, also die Stacheln nicht wirbelfrei tangential an die Kugel anlegen kann.