1-Form/K/Vektorräume/Komponentenfunktionen/Exakt und geschlossen/Aufgabe

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei  ${}U\subseteq V$  eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine differenzierbare ${}1$-Differentialform auf ${}U$ mit Werten in ${}W$. Es sei ${}b_{1},\ldots ,b_{\ell }$ eine Basis, und ${}\omega$ besitze die Darstellung

${}\omega =\sum _{k=1}^{\ell }\omega _{k}b_{k}\,$

mit ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Differentialformen ${}\omega _{k}$.

1. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann exakt ist, wenn alle ${}\omega _{k}$ exakt sind.
2. Es sei nun ${}\omega$ stetig differenzierbar. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann geschlossen ist, wenn alle ${}\omega _{k}$ geschlossen sind.

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