Abbildung/Einführende Vorlesung/Ausführlich und umfassend/Textabschnitt

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Definition  

Seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

aus.

Bei einer Abbildung heißt die Definitionsmenge (oder Definitionsbereich) der Abbildung und die Wertemenge (oder Wertevorrat oder Zielbereich) der Abbildung. Zu einem Element heißt das Element

der Wert von an der Stelle . Statt Stelle sagt man auch häufig Argument.

Zwei Abbildungen

sind gleich, wenn sie die gleiche Definitionsmenge und die gleiche Wertemenge besitzen und wenn für alle die Gleichheit in gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge.

Eine Abbildung kann man auch sehen als eine spezielle Relation , nämlich als eine Relation mit der Eigenschaft, dass es zu jedem genau ein gibt mit . Abbildungen werden häufig auch Funktionen genannt. Wir werden den Begriff Funktion für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge ein Zahlbereich wie die reellen Zahlen ist.

Zu jeder Menge nennt man die Abbildung

also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die Identität (auf ). Sie wird mit bezeichnet.



Darstellungsmöglichkeiten von Abbildungen

Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graph der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen.

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Injektive und surjektive Abbildungen


Definition  

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt

    • injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch
    und verschieden sind.
    • surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit

    gibt.

    • bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Diese Begriffe sind fundamental! Die Frage, ob eine Abbildung diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung

(in den beiden Variablen und ) erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem mindestens eine Lösung für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem maximal eine Lösung für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem genau eine Lösung für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden.

Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen und aus der Voraussetzung erschließt, dass ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus auf zu schließen.


Definition  

Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .



Graph, Bild und Urbild einer Abbildung


Definition  

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann nennt man

den Graphen der Abbildung .

Abbildungen und ihre Graphen sind im wesentlichen äquivalente Objekte. Formal kann man auch Abbildungen als Graphen (spezielle Relationen) einführen. Man muss den Graph von seiner visuellen Realisierung unterscheiden, eine solche ist nicht immer möglich und hängt davon ab, ob man die Produktmenge aus Definitionsmenge und Wertemenge gut visualisieren kann.


Definition  

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt

das Bild von unter . Für heißt

das Bild der Abbildung.


Definition  

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt

das Urbild von unter . Für eine einelementige Teilmenge heißt

das Urbild von .



Hintereinanderschaltung von Abbildungen


Definition  

Es seien und Mengen und

und

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .

Es gilt also

wobei die linke Seite durch die rechte Seite definiert wird. Wenn die beiden Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so wird die Hintereinanderschaltung dadurch realisiert, dass man den ersten Ausdruck anstelle der Variablen in den zweiten Ausdruck einsetzt (und nach Möglichkeit vereinfacht).



Lemma  

Es seien und Mengen und es seien

und

Abbildungen.

Dann ist

Beweis  

Zwei Abbildungen sind genau dann gleich, wenn für jedes die Gleichheit gilt. Sei also . Dann ist




Lemma  

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist bijektiv.
  2. Es gibt eine Abbildung
    mit
  3. Es gibt eine Abbildung mit und es gibt eine Abbildung mit .

Beweis  

(1) (2). Es sei also bijektiv und wir müssen eine Abbildung mit den angegebenen Eigenschaften finden. Wir behaupten, dass die Umkehrabbildung diese Eigenschaften erfüllt. Für jedes ist . Das Element wird auf abgebildet und es ist das einzige Element aus mit dieser Eigenschaft. Daher ist nach Definition der Umkehrabbildung . Also ist .

Für jedes ist . Nach der Definition von ist dasjenige Element aus , dass von auf abgebildet wird. Also ist und damit ist .

(2) (3) ist trivial, da das aus (2) sowohl die Eigenschaft von aus (3) als auch die Eigenschaft von aus (3) erfüllt.

(3) (1). Es gebe nun die Abbildungen und mit den beschriebenen Eigenschaften. Wir möchten zeigen, dass dann bijektiv ist, also sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Zum Nachweis der Injektivität seien

Wir wenden darauf die Abbildung an und erhalten

Da ist, folgt direkt .

Zum Nachweis der Surjektivität sei beliebig vorgegeben. Wir behaupten, dass durch auf abgebildet wird. Dies folgt direkt aus