Additive Funktoren/Exaktheitseigenschaften/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ additive Kategorien. Ein kovarianter Funktor ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt additiv, wenn für Objekte ${}G,H\in {\mathcal {A}}$ die Abbildungen

$\operatorname {Mor} {\left(G,H\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(G),F(H)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ),$

Gruppenhomomorphismen sind.

Definition

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ additive Kategorien. Ein kontravarianter Funktor ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt additiv, wenn für Objekte ${}G,H\in {\mathcal {A}}$ die Abbildungen

$\operatorname {Mor} {\left(G,H\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(H),F(G)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ),$

Gruppenhomomorphismen sind.

Definition

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kovarianter Funktor ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt linksexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$

in ${}{\mathcal {A}}$ die Sequenz

$0\longrightarrow F(A)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(C)$

in ${}{\mathcal {B}}$ exakt ist.

Definition

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kovarianter Funktor ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt rechtsexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$

in ${}{\mathcal {A}}$ die Sequenz

$F(A)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(C)\longrightarrow 0$

in ${}{\mathcal {B}}$ exakt ist.

Definition

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kontravarianter Funktor ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt linksexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$

in ${}{\mathcal {A}}$ die Sequenz

$0\longrightarrow F(C)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(A)$

in ${}{\mathcal {B}}$ exakt ist.

Definition

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kontravarianter Funktor ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt rechtsexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$

in ${}{\mathcal {A}}$ die Sequenz

$F(C)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(A)\longrightarrow 0$

in ${}{\mathcal {B}}$ exakt ist.