Affine Varietäten/Zariski-Topologie/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

In einem affinen Raum versteht man unter der Zariski-Topologie diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.

Die offenen Mengen der Zariski-Topologie sind also die Komplemente der affin-algebraischen Mengen. Sie werden zu einem Ideal mit

bezeichnet. Die Zariski-Topologie weicht sehr stark von anderen Topologien ab, insbesondere von solchen, die durch eine Metrik gegeben sind. Insbesondere ist die Zariski-Topologie nicht hausdorffsch. Generell kann man sagen, dass die offenen Mengen (außer der leeren Menge) in der Zariski-Topologie sehr groß sind (siehe Aufgabe), während die abgeschlossenen (also die affin-algebraischen Mengen) sehr dünn sind (außer dem ganzen Raum selbst).


Beispiel  

Die Zariski-Topologie auf der affinen Geraden lässt sich einfach beschreiben. Als (Zariski)-abgeschlossene Teilmenge haben wir zunächst einmal die gesamte affine Gerade, die durch beschrieben wird. Alle anderen abgeschlossenen Teilmengen werden durch mit beschrieben. Da ein Hauptidealbereich ist, kann man sogar , , ansetzen. Die zugehörige Nullstellenmenge besteht also aus endlich vielen Punkten. Andererseits ist jeder einzelne Punkt mit der Koordinate die einzige Nullstelle des linearen Polynoms , also ist Zariski-abgeschlossen. Eine endliche Ansammlung von Punkten mit den Koordinaten ist die Nullstellenmenge des Polynoms . Die Zariski-abgeschlossenen Mengen der affinen Geraden bestehen also aus allen endlichen Teilmengen (einschließlich der leeren) und der gesamten Menge.


Lineline.jpg



Beispiel  

Jeder Punkt

ist Zariski-abgeschlossen, und zwar ist

Punkte sind (neben der leeren Menge und dem gesamten Raum) die einfachsten affin-algebraischen Mengen. Das Ideal (Punktideal) ist maximal, siehe Aufgabe.


Der Schnitt von zwei und
von drei Ebenen