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Algebren von endlichem Typ über Körper/Homomorphismen/Urbild von maximalem Ideal ist maximal/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Beweis

Es sei ein maximales Ideal aus . Wir wissen nach Aufgabe, dass unter jedem Ringhomomorphismus das Urbild eines Primideals wieder prim ist, also ist zunächst ein Primideal, das wir nennen. Wir erhalten induzierte Ringhomomorphismen

wobei ein Körper ist und wobei beide Homomorphismen injektiv und von endlichem Typ sind. Da die Gesamtabbildung von endlichem Typ ist und und Körper sind, folgt aus Fakt, dass diese Abbildung endlich ist. Wir wollen zeigen, dass der Zwischenring ein Körper ist. Dies folgt aber aus Aufgabe.