Algebren von endlichem Typ über Körper/Homomorphismen/Urbild von maximalem Ideal ist maximal/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $𝔪$ ein maximales Ideal aus $B$. Wir wissen nach Aufgabe, dass unter jedem Ringhomomorphismus das Urbild eines Primideals wieder prim ist, also ist ${\phi }^{-1}(𝔪)$ zunächst ein Primideal, das wir $𝔭$ nennen. Wir erhalten induzierte Ringhomomorphismen

$K⟶A/𝔭⟶B/𝔪=L,$

wobei $L$ ein Körper ist und wobei beide Homomorphismen injektiv und von endlichem Typ sind. Da die Gesamtabbildung von endlichem Typ ist und $K$ und $L$ Körper sind, folgt aus Fakt, dass diese Abbildung endlich ist. Wir wollen zeigen, dass der Zwischenring $A/𝔭$ ein Körper ist. Dies folgt aber aus Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage