Algebren von endlichem Typ über Körper/Homomorphismen/Urbild von maximalem Ideal ist maximal/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal aus ${}B$. Wir wissen nach Aufgabe, dass unter jedem Ringhomomorphismus das Urbild eines Primideals wieder prim ist, also ist ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ zunächst ein Primideal, das wir ${}{\mathfrak {p}}$ nennen. Wir erhalten induzierte Ringhomomorphismen

$K\longrightarrow A/{\mathfrak {p}}\longrightarrow B/{\mathfrak {m}}=L,$

wobei ${}L$ ein Körper ist und wobei beide Homomorphismen injektiv und von endlichem Typ sind. Da die Gesamtabbildung von endlichem Typ ist und ${}K$ und ${}L$ Körper sind, folgt aus Fakt, dass diese Abbildung endlich ist. Wir wollen zeigen, dass der Zwischenring ${}A/{\mathfrak {p}}$ ein Körper ist. Dies folgt aber aus Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage