Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $T\subseteq {ℝ}^n$ eine kompakte Teilmenge und

   $f:T⟶{ℝ}^m$

   eine stetige Abbildung. Dann ist auch das Bild

   $f(T)$ kompakt.
2. Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

   $f:[a,b]⟶{ℝ}^n$

   eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist $f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

   $L(f)={\int }_a^b\Vert f^{\prime }(t)\Vert dt.$

3. Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq ℝ$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und

   $f:I\times U⟶V,(t,v)⟼f(t,v),$

   ein Vektorfeld auf $U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Dann gibt es zu jedem $(t_0,w)\in I\times U$ ein offenes Intervall $J$ mit $t_0\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem

   $v^{\prime }=f(t,v)\text{ und }v(t_0)=w$

   existiert.

Zur gelösten Aufgabe