Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Folgende Aussagen sind äquivalent.
   1. $f$ ist stetig in jedem Punkt $x\in L$.
   2. Für jeden Punkt $x\in L$ und jedes $ϵ>0$ gibt es ein $\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus $d(x,x^{\prime })\le \delta$ folgt, dass $d(f(x),f(x^{\prime }))\le ϵ$ ist.
   3. Für jeden Punkt $x\in L$ und jede konvergente Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $L$ mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x$ ist auch die Bildfolge ${(f(x_n))}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergent mit dem Grenzwert $f(x)$.
   4. Für jede offene Menge $V\subseteq M$ ist auch das Urbild $f^{-1}(V)$ offen.
2. Es sei $G\subseteq {𝕂}^n$ offen und $\phi :G\to {𝕂}^m$ eine Abbildung. Es seien $x_i$, $i=1,\dots ,n$, die Koordinaten von ${𝕂}^n$ und  $P\in G$  ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen in einer offenen Umgebung von $P$ existieren und in $P$ stetig sind. Dann ist $\phi$ in $P$ (total) differenzierbar.
3. Es sei  $U\subseteq {ℝ}^n$  eine offene Teilmenge und

   $h:U⟶ℝ$

   eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld $G=\mathrm{Grad}h$. Es sei $\gamma :[a,b]\to U$ ein stetig differenzierbarer Weg in $U$. Dann gilt für das Wegintegral

   ${\int }_{\gamma }G=h(\gamma (b))-h(\gamma (a)).$

Zur gelösten Aufgabe