Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

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  1. Folgende Aussagen sind äquivalent.
    1. ist stetig in jedem Punkt .
    2. Für jeden Punkt und jedes gibt es ein mit der Eigenschaft, dass aus folgt, dass ist.
    3. Für jeden Punkt und jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .
    4. Für jede offene Menge ist auch das Urbild offen.
  2. Es sei offen und eine Abbildung. Es seien , , die Koordinaten von und ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen in einer offenen Umgebung von existieren und in stetig sind. Dann ist in (total) differenzierbar.
  3. Es sei eine offene Teilmenge und

    eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld . Es sei ein stetig differenzierbarer Weg in . Dann gilt für das Wegintegral