Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

1. Man sagt, dass ${}X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.
2. Ein Prämaß auf ${}(M,{\mathcal {A}})$ nennt man ein Maß.
3. Das eindeutig bestimmte Maß ${}\lambda ^{1}=\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert ${}\lambda ([a,b[)=b-a$ besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.
4. Unter einem Tangentialvektor an ${}P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch ${}P$.
5. Eine Orientierung auf ${}V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von ${}V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.
6. Zu ${}P\in M$ sei ${}\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf ${}T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert ${}1$ zuordnet. Dann heißt die ${}n$-Differentialform

   $M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$

   die kanonische Volumenform auf ${}M$.

Zur gelösten Aufgabe