Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und es sei

   $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Dann gilt

   ${}\int _{M}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,$

2. Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}T$ ist überdeckungskompakt.
   2. Jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ besitzt einen Häufungspunkt in ${}T$.
   3. Jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ besitzt eine in ${}T$ konvergente Teilfolge.
   4. ${}T$ ist abgeschlossen und beschränkt.
3. Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\delta M$. Dann ist der Flächeninhalt von ${}M$ gleich

   ${}\lambda ^{2}(M)=\int _{\partial M}xdy=-\int _{\partial M}ydx\,.$

Zur gelösten Aufgabe