Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $(M,𝒜,\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und es sei

   $f_n:M⟶{\overline{ℝ}}_{\ge 0}$

   eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Dann gilt

   ${\int }_M\lim \inf \left(f_n\right)d\mu \le \lim \inf \left({\int }_M{f}_{n}d\mu \right)$

2. Es sei $T\subseteq {ℝ}^n$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. $T$ ist überdeckungskompakt.
   2. Jede Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $T$ besitzt einen Häufungspunkt in $T$.
   3. Jede Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $T$ besitzt eine in $T$ konvergente Teilfolge.
   4. $T$ ist abgeschlossen und beschränkt.
3. Es sei $M\subseteq {ℝ}^2$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand $\delta M$. Dann ist der Flächeninhalt von $M$ gleich

   ${\lambda }^2(M)={\int }_{\partial M}xdy=-{\int }_{\partial M}ydx.$

Zur gelösten Aufgabe