Angeordneter Körper/Anordnungseigenschaften/Intervalle/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Körper ${}K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$),
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$),

erfüllt.

Statt ${}a\geq b$ schreibt man auch ${}b\leq a$. Die Schreibweise ${}a>b$ bedeutet ${}a\geq b$ und ${}a\neq b$. In einem angeordneten Körper nennt man ein Element ${}a\in K$ positiv, wenn ${}a>0$ ist, und negativ, wenn ${}a<0$ ist. Die ${}0$ ist demnach weder positiv noch negativ, und jedes Element ist entweder positiv oder negativ oder ${}0$. Die Elemente ${}a$ mit ${}a\geq 0$ nennt man dann einfach nichtnegativ und die Elemente ${}a$ mit ${}a\leq 0$ nichtpositiv. Für die entsprechenden Mengen schreibt man

$K_{+},\,K_{-},\,K_{\geq 0}=K_{+}^{0},\,K_{\leq 0}=K_{-}^{0}$

oder Ähnliches. Die wichtigsten Beispiele für angeordnete Körper sind der Körper der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ und der Körper der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$.

Lemma

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

1. ${}1\geq 0$.
2. Es ist ${}a\geq 0$ genau dann, wenn ${}-a\leq 0$ ist.
3. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}a-b\geq 0$ ist.
4. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}-a\leq -b$ ist.
5. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq d$ folgt ${}a+c\geq b+d$.
6. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq 0$ folgt ${}ac\geq bc$.
7. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\leq 0$ folgt ${}ac\leq bc$.
8. Aus ${}a\geq b\geq 0$ und ${}c\geq d\geq 0$ folgt ${}ac\geq bd$.
9. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\leq 0$ folgt ${}ab\leq 0$.
10. Aus ${}a\leq 0$ und ${}b\leq 0$ folgt ${}ab\geq 0$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Aus ${}x>0$ folgt auch ${}x^{-1}>0$.
2. Aus ${}x<0$ folgt auch ${}x^{-1}<0$.
3. Für ${}x>0$ ist ${}x\geq 1$ genau dann, wenn ${}x^{-1}\leq 1$ ist.
4. Aus ${}x\geq y>0$ folgt ${}x^{-1}\leq y^{-1}$.
5. Für positive Elemente ${}x,y$ ist ${}x\geq y$ äquivalent zu ${}{\frac {x}{y}}\geq 1$.

Beweis

Siehe Aufgabe, Aufgabe, Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zu ${}a,b\in K$, ${}a\leq b$, nennt man

• ${}[a,b]={\left\{x\in K\mid a\leq x{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das abgeschlossene Intervall.

• ${}]a,b[={\left\{x\in K\mid a<x{\text{ und }}x<b\right\}}$

das offene Intervall.

• ${}]a,b]={\left\{x\in K\mid a<x{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das linksseitig offene Intervall.

• ${}[a,b[={\left\{x\in K\mid a\leq x{\text{ und }}x<b\right\}}$

das rechtsseitig offene Intervall.

Für das offene Intervall wird häufig auch ${}(a,b)$ geschrieben. Die Zahlen ${}a$ und ${}b$ heißen die Grenzen des Intervalls, genauer spricht man von oberer und unterer Grenze. Die Bezeichnung linksseitig und rechtsseitig bei den beiden letzten Intervallen (die man auch als halboffen bezeichnet) rühren von der üblichen Repräsentierung der reellen Zahlen als Zahlengerade her, bei der rechts die positiven Zahlen stehen. Zutreffender (also weniger konventionsverhaftet) wäre es von „größerseitig offen“ und „kleinerseitig offen“ zu sprechen. Manchmal werden auch Schreibweisen wie ${}(a,\infty )$ verwendet. Dies bedeutet nicht, dass es in ${}K$ ein Element ${}\infty$ gibt, sondern ist lediglich eine kurze Schreibweise für ${}{\left\{x\in K\mid x>a\right\}}$. Diese Teilmengen nennt man auch unbeschränkte Intervalle, die Intervalle der Definition heißen auch genauer beschränkte Intervalle.

Bemerkung  

Ein äquivalenter Zugang zum Begriff des angeordneten Körpers funktioniert so: Man hat einen Körper ${}K$, bei dem eine Teilmenge ${}P\subseteq K$ (die „positive Hälfte“) ausgezeichnet ist mit den folgenden Eigenschaften

1. Entweder ${}x\in P$ oder ${}-x\in P$ oder ${}x=0$.
2. Aus ${}x,y\in P$ folgt ${}x+y\in P$.
3. Aus ${}x,y\in P$ folgt ${}x\cdot y\in P$.

In einem angeordneten Körper erfüllen die positiven Elemente diese Bedingungen. Man kann aber umgekehrt aus einem Körper mit einer solchen positiven Teilmenge einen angeordneten Körper machen, indem man

$x\geq y{\text{ durch }}x=y{\text{ oder }}x-y\in P$

definiert, siehe Aufgabe.

Fußnoten