Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Algebraische Topologie

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und seien ${}f,g\colon X\rightarrow Y$ stetige Abbildungen. Eine Homotopie zwischen ${}f$ und ${}g$ ist eine stetige Abbildung

$H\colon X\times [0,1]\longrightarrow Y$

mit ${}H(x,0)=f(x)$ für alle ${}x\in X$ und ${}H(x,1)=g(x)$ für alle ${}x\in X$.

Lemma

Es seien ${}(X,x_{0})$ und ${}(Y,y_{0})$ (punktierte) topologische Räume und seien ${}f,g\colon (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})$ zueinander homotope stetige Abbildungen.

Dann ist

${}\pi (f)=\pi (g)\,.$

Beweis

Es sei

$H\colon X\times [0,1]\longrightarrow Y$

eine Homotopie zwischen ${}f$ und ${}g$ und sei ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein geschlossener stetiger Weg. Dann ist

${\tilde {H}}=H\circ (\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})\colon [0,1]\times [0,1]\longrightarrow Y$

eine Homotopie zwischen ${}f\circ \gamma$ und ${}g\circ \gamma$. Es ist ja

${}{\tilde {H}}(s,0)=H((\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})(s,0))=H(\gamma (s),0)=f(\gamma (s))\,,$

${}{\tilde {H}}(s,1)=H((\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})(s,1))=H(\gamma (s),1)=g(\gamma (s))\,,$

${}{\tilde {H}}(0,t)=H((\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})(0,t))=H(\gamma (0),t)=H(x_{0},t)=y_{0}\,$

und

${}{\tilde {H}}(1,t)=H((\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})(1,t))=H(\gamma (1),t)=H(x_{0},t)=y_{0}\,.$

Deshalb ist

${}[f\circ \gamma ]=[g\circ \gamma ]\,$

in ${}\pi _{1}(Y,y_{0})$ für jeden Weg ${}\gamma$ und somit ist ${}\pi (f)=\pi (g)$.

$\Box$

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und sei ${}f\colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Man sagt, dass ${}f$ eine Homotopieäquivalenz ist, wenn es eine stetige Abbildung ${}g\colon Y\rightarrow X$ derart gibt, dass ${}g\circ f$ homotop zu ${}\operatorname {Id} _{X}$ und ${}f\circ g$ homotop zu ${}\operatorname {Id} _{Y}$ ist.