Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Bezout

Den Beweis zu Fakt kann man auf nichtglatte Kurven ausdehnen, was einen Beweis des Satzes von Bezout für ebene Kurven ermöglicht. Das Problem ist, dass im allgemeinen Fall der lokale Ring zu einem Punkt

${}P\in C=V_{+}(F)\,$

kein diskreter Bewertungsring ist. Die über die Bewertung definierte Ordnung einer Funktion ${}g\neq 0$ in diesem Punkt muss man ersetzen durch die ${}K$-Dimension von ${}{\mathcal {O}}_{C,P}/(g)$, mit der wir auch im Beweis gearbeitet haben. Wir erwähnen die Definition der Schnittmultiplizität.

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei

${}P\in V(F)\cap V(G)=V(F,G)\,.$

Dann nennt man die Dimension

$\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{P}/(F,G)\right)}$

die Schnittmultiplizität der beiden Kurven ${}V(F)$ und ${}V(G)$ im Punkt ${}P$. Sie wird mit

$\operatorname {mult} _{P}(F,G){\text{ oder mit }}\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))$

bezeichnet.

Aufgabe

Es sei

${}C=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

eine ebene projektive Kurve vom Grad ${}d$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei

${}G\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e)\right)}\,$

ein Schnitt, dessen Einschränkung auf keiner Komponente von ${}C$ gleich ${}0$ ist. Zeige

${}\sum _{P\in V_{+}(F)\cap V_{+}(G)}\operatorname {mult} _{P}(V_{+}(F),V_{+}(G))=de\,.$

Verwende Fakt, um auf den Fall ${}e=1$ zu reduzieren. Argumentiere dann wie in Fakt.

Aufgabe

Beweise den Satz von Bezout mit Aufgabe.