Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Funktionentheorie

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Definition  

Eine auf einer offenen Menge definierte Funktion

heißt holomorph, wenn sie komplex-differenzierbar ist.



Lemma  

Es sei

  1. Die -te Ableitung von ist
  2. Die Taylorreihe von in ist
  3. Der Konvergenzradius der Reihe aus (2) ist gleich .

Beweis  

  1. Der Induktionsanfang ist klar für . Der Induktionsschluss ergibt sich durch
  2. Der -te Koeffizient der Taylorreihe ist gleich gleich

Eine lokale Stammfunktion zu im Punkt hat die Reihenentwicklung

bzw.



Satz  

Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge und eine von der Nullfunktion verschiedene holomorphe Funktion.

Dann ist die Nullstellenmenge von diskret.

Beweis  




Satz  

Es sei ein Gebiet und sei eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gibt einen Punkt mit

für alle .

Dann ist konstant.

Beweis  



Definition  

Es sei eine offene Teilmenge. Eine meromorphe Funktion auf ist gegeben durch eine diskrete Menge und eine holomorphe Funktion

derart, dass für jedes der Limes in existiert oder gleich ist.


Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Textabschnitt

1-Form/K/Vektorräume/Textabschnitt

Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Wegintegral/R^n/Einführung/Textabschnitt

Erzeugende Funktion/C/Einführung/Textabschnitt

Dirichletreihe/C/Einführung/Textabschnitt

Bernoulli-Zahlen/Einführung/Textabschnitt

Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Textabschnitt