Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Funktionentheorie

Lemma

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,z\longmapsto z^{-1}.$

1. Die ${}n$-te Ableitung von ${}f$ ist

   ${}f^{(n)}(z)=(-1)^{n}n!z^{-n-1}\,.$

2. Die Taylorreihe von ${}f$ in ${}a\in {\mathbb {C} }^{\times }$ ist

   $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a^{-n-1}(z-a)^{n}.$

3. Der Konvergenzradius der Reihe aus (2) ist gleich ${}a$.

Beweis

1. Der Induktionsanfang ist klar für ${}n=0$. Der Induktionsschluss ergibt sich durch

   ${}{\begin{aligned}f^{(n+1)}(z)&={\left(f^{(n)}(z)\right)}'\\&={\left((-1)^{n}n!z^{-1-n}\right)}'\\&=(-1)^{n}n!(-1-n)z^{-1-n-1}\\&=(-1)^{n+1}n!(n+1)z^{-1-(n+1)}\\&=(-1)^{n+1}(n+1)!z^{-1-(n+1)}.\end{aligned}}$

2. Der ${}n$-te Koeffizient der Taylorreihe ist gleich

   ${}c_{n}=(-1)^{n}{\frac {n!}{n!}}a^{-n-1}=(-1)^{n}a^{-n-1}\,.$

$\Box$

Eine lokale Stammfunktion zu ${}z^{-1}$ im Punkt ${}a$ hat die Reihenentwicklung

$c+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {a^{-n-1}}{n+1}}(z-a)^{n+1}$

bzw.

$c+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {a^{-k}}{k}}(z-a)^{k}.$

Funktionsfamilie/Summierbarkeit/Einführung/Textabschnitt

Erzeugende Funktion/C/Einführung/Textabschnitt

Dirichletreihe/C/Einführung/Textabschnitt

Bernoulli-Zahlen/Einführung/Textabschnitt

Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Textabschnitt