Dirichletreihe/C/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer Folge ${}a_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, von komplexen Zahlen nennt man

$\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$

die Dirichletreihe (oder ${}L$-Reihe) zu den Koeffizienten ${}a_{n}$ an der Stelle ${}s\in {\mathbb {C} }$.

Die ${}a_{n}$ heißen die Koeffizienten der ${}L$-Reihe. Die Riemannsche Zetafunktion ist durch die ${}L$-Reihe gegeben, bei der alle Koeffizienten ${}1$ sind. Man kann nicht erwarten, dass eine solche Reihe überall, also für jedes ${}s$, konvergiert. Ein typisches Verhalten ist aber, dass sie konvergiert, wenn der Realteil von ${}s$ hinreichend groß ist.

Bemerkung  

Formal und oberflächlich gesehen sind eine Folge ${}{\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und die zugehörige ${}L$-Reihe äquivalente Objekte. Bei den relevanten ${}L$-Reihen ist es aber so, dass die Koeffizienten ${}a_{n}$ eine gewisse inhaltliche, häufig arithmetische Bedeutung haben, beispielsweise die Anzahl von Lösungen zählen. Bei einem solchen Problem ist es erstmal nicht klar, ob es irgendeine Beziehung zwischen den ${}a_{n}$ untereinander gibt. Es ist nun in ziemlich verschiedenen Kontexten so, dass sich ein zunächst verborgener Zusammenhang zwischen den Koeffizienten in Eigenschaften der Reihe niederschlägt und erst dadurch sichtbar wird.

Bemerkung  

Typische Fragestellungen für eine ${}L$-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ sind:

1. Für welche ${}s$ konvergiert die Reihe?
2. Welchen Wert hat die Reihe für spezielle Werte ${}s$?
3. Welche Eigenschaften erfüllt die durch die Reihe gegebene Funktion?
4. Gibt es eine Funktionalgleichung?
5. Kann man was über Nullstellen und Pole sagen?
6. Gibt es weitere Darstellungen der Funktion (Produktdarstellung, Potenzreihe in ${}s$, Fourierreihe)?
7. Gibt es eine analytische (holomorphe, meromorphe) Fortsetzung der Reihe?
8. Sind Rückschlüsse auf die Koeffizienten ${}a_{n}$ möglich?

Lemma

Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ eine Dirichletreihe, die für reelles ${}c$ absolut konvergiere.

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ für alle ${}s$ mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}\geq c$ absolut.

Beweis

Sei ${}s=r+{\mathrm {i} }t$ mit ${}r\geq c$. Es ist unter Verwendung von Fakt

${}{\begin{aligned}\vert {a_{n}n^{-s}}\vert &=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-s\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n-{\mathrm {i} }t\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n}}\vert \cdot \vert {e^{-{\mathrm {i} }t\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n}}\vert \\&\leq \vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-c\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot n^{-c}.\end{aligned}}$

Die zugehörige Reihe konvergiert nach Voraussetzung, also nach dem Majorantenkriterium auch die Dirichletreihe zu ${}s$.

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Lemma

Es seien ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ und ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}b_{n}n^{-s}$ Dirichletreihen, die beide für

${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}\geq c\,$

absolut konvergieren.

Dann ist die Produktreihe gleich ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}c_{n}n^{-s}$ mit

${}c_{n}=\sum _{d{|}n}a_{d}b_{n/d}\,.$

Beweis

Die über das Cauchyprodukt definierte Reihe ist nach Fakt ebenfalls für ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}\geq c$ absolut konvergent. Bei einer absolut konvergenten Reihe darf man nach Fakt beliebig umordnen. Die angegebene Dirichletreihe ist eine spezielle Anordnung.

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Lemma

Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ eine Dirichletreihe mit beschränkten Koeffizienten ${}a_{n}$.

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ für alle ${}s$ mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ absolut.

Beweis

Dies beruht auf der Konvergenz von ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}n^{-s}$ für reelles ${}s>1$, siehe Uneigentliches Integral/Vergleichskriterium für Reihen/Riemannsche Zetafunktion/Textabschnitt.

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Definition

Eine zahlentheoretische Funktion

$f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen ${}m,n$ stets

${}f(mn)=f(m)f(n)\,$

gilt.

Lemma

Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ eine Dirichletreihe mit beschränkten multipliaktiven Koeffizienten ${}a_{n}$.

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ für alle ${}s$ mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ absolut und besitzt die Produktdarstellung

${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}=\prod _{p}F_{p}(s)\,$

mit den Faktoren

${}F_{p}(s):=\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{p^{k}}p^{-ks}\,.$

Beweis

Die Reihe und die Faktoren konvergieren für Realteil ${}>1$ wegen der Beschränktheit nach Fakt. Für eine endliche Teilmenge an Primzahlen sei ${}N(E)$ die von diesen Primzahlen multiplikativ dargestellen Zahlen. Dann ist wegen der Multiplikativität

${}\sum _{n\in N(E)}a_{n}n^{-s}=\prod _{p\in E}F_{p}\,.$

Die Aussage folgt dann aus dem Limesübergang, wenn ${}E$ zunehmend alle Primzahlen umfasst.

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