Dirichletreihe/C/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Zu einer Folge , , von komplexen Zahlen nennt man

die Dirichletreihe (oder -Reihe) zu den Koeffizienten an der Stelle .

Die heißen die Koeffizienten der -Reihe. Die Riemannsche Zetafunktion ist durch die -Reihe gegeben, bei der alle Koeffizienten sind. Man kann nicht erwarten, dass eine solche Reihe überall, also für jedes , konvergiert. Ein typisches Verhalten ist aber, dass sie konvergiert, wenn der Realteil von hinreichend groß ist.

Bemerkung  

Formal und oberflächlich gesehen sind eine Folge und die zugehörige -Reihe äquivalente Objekte. Bei den relevanten -Reihen ist es aber so, dass die Koeffizienten eine gewisse inhaltliche, häufig arithmetische Bedeutung haben, beispielsweise die Anzahl von Lösungen zählen. Bei einem solchen Problem ist es erstmal nicht klar, ob es irgendeine Beziehung zwischen den untereinander gibt. Es ist nun in ziemlich verschiedenen Kontexten so, dass sich ein zunächst verborgener Zusammenhang zwischen den Koeffizienten in Eigenschaften der Reihe niederschlägt und erst dadurch sichtbar wird.


Bemerkung  

Typische Fragestellungen für eine -Reihe sind:

  1. Für welche konvergiert die Reihe?
  2. Welchen Wert hat die Reihe für spezielle Werte ?
  3. Welche Eigenschaften erfüllt die durch die Reihe gegebene Funktion?
  4. Gibt es eine Funktionalgleichung?
  5. Kann man was über Nullstellen und Pole sagen?
  6. Gibt es weitere Darstellungen der Funktion (Produktdarstellung, Potenzreihe in , Fourierreihe)?
  7. Gibt es eine analytische (holomorphe, meromorphe) Fortsetzung der Reihe?
  8. Sind Rückschlüsse auf die Koeffizienten möglich?




Lemma  

Es sei eine Dirichletreihe, die für reelles absolut konvergiere.

Dann konvergiert die Reihe für alle mit absolut.

Beweis  

Sei mit . Es ist unter Verwendung von Fakt

Die zugehörige Reihe konvergiert nach Voraussetzung, also nach dem Majorantenkriterium auch die Dirichletreihe zu .




Lemma  

Es seien und Dirichletreihen, die beide für

absolut konvergieren.

Dann ist die Produktreihe gleich mit

Beweis  

Die über das Cauchyprodukt definierte Reihe ist nach Fakt ebenfalls für absolut konvergent. Bei einer absolut konvergenten Reihe darf man nach Fakt beliebig umordnen. Die angegebene Dirichletreihe ist eine spezielle Anordnung.




Lemma  

Es sei eine Dirichletreihe mit beschränkten Koeffizienten .

Dann konvergiert die Reihe für alle mit absolut.

Beweis  

Dies beruht auf der Konvergenz von für reelles , siehe Uneigentliches Integral/Vergleichskriterium für Reihen/Riemannsche Zetafunktion/Textabschnitt.



Definition  

Eine zahlentheoretische Funktion

heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen stets

gilt.



Lemma  

Es sei eine Dirichletreihe mit beschränkten multipliaktiven Koeffizienten .

Dann konvergiert die Reihe für alle mit absolut und besitzt die Produktdarstellung

mit den Faktoren

Beweis  

Die Reihe und die Faktoren konvergieren für Realteil wegen der Beschränktheit nach Fakt. Für eine endliche Teilmenge an Primzahlen sei die von diesen Primzahlen multiplikativ dargestellen Zahlen. Dann ist wegen der Multiplikativität

Die Aussage folgt dann aus dem Limesübergang, wenn zunehmend alle Primzahlen umfasst.