Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Homologische Algebra
Definition
Ein Kettenkomplex (von kommutativen Gruppen) ist eine Folge , , von kommutativen Gruppen zusammen mit einer Folge von Gruppenhomomorphismen
mit der Eigenschaft
für alle .
Es geht also um ein Abbildungsdiagramm der Form
Häufig ist ein Kettenkomplex nur für Indizes oder oder nur für eine endliche Menge definiert. Für alle anderen Indizes sind die Gruppen als die Nullgruppe zu interpretieren.
Definition
Ein Kettenkomplex heißt exakt an der Stelle , wenn
gilt. Er heißt exakt, wenn er an jeder Stelle exakt ist.
Lemma
Es sei
ein exakter Komplex von -Moduln über einem kommutativen Ring . Es sei ein weiterer -Modul.
Dann ist auch der Komplex
exakt.
Beweis
Die Abbildungen sind -Modulhomomorphismen, zum Nachweis der Injektivität von
können wir also das Kernkriterium verwenden. Wenn aber nicht die Nullabbildung ist, so ist auch nicht die Nullabblidung. Es sei nun derart, dass die Verknüpfung die Nullabbildung ist. Dann landet im Kern der Abbildung von nach , also in , und daher rührt von einer Abbildung von nach her.