Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Homologische Algebra

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Definition  

Ein Kettenkomplex (von kommutativen Gruppen) ist eine Folge , , von kommutativen Gruppen zusammen mit einer Folge von Gruppenhomomorphismen

mit der Eigenschaft

für alle .

Es geht also um ein Abbildungsdiagramm der Form

Häufig ist ein Kettenkomplex nur für Indizes oder oder nur für eine endliche Menge definiert. Für alle anderen Indizes sind die Gruppen als die Nullgruppe zu interpretieren.


Definition  

Ein Kettenkomplex heißt exakt an der Stelle , wenn

gilt. Er heißt exakt, wenn er an jeder Stelle exakt ist.


Definition  

Zu einem Kettenkomplex nennt man

die -te Homologie des Komplexes.



Lemma  

Es sei

ein exakter Komplex von -Moduln über einem kommutativen Ring . Es sei ein weiterer -Modul.

Dann ist auch der Komplex

exakt.

Beweis  

Die Abbildungen sind -Modulhomomorphismen, zum Nachweis der Injektivität von

können wir also das Kernkriterium verwenden. Wenn aber nicht die Nullabbildung ist, so ist auch nicht die Nullabblidung. Sei nun derart, dass die Verknüpfung die Nullabbildung ist. Dann landet im Kern der Abbildung von nach , also in , und daher rührt von einer Abbildung von nach her.