Borel-Lebesgue-Maß/R^n/Einführung/Textabschnitt

Satz

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der ${}\sigma$-Algebra der Borel-Mengen ${}{\mathcal {B}}^{n}$ versehen.

Dann gibt es auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ genau ein (${}\sigma$-endliches) Maß

$\lambda ^{n}\colon {\mathcal {B}}^{n}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \lambda ^{n}(T),$

das für alle Quader

${}Q=[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[\,$

den Wert

${}\lambda ^{n}(Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})\,$

besitzt.

Die Aussage gilt auch für (achsenparallele) Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.

Beweis

Für ${}n=1$ ist dies der Inhalt von Fakt. Für ${}n\geq 2$ folgt dies aus Fakt, angewendet auf das ${}n$-fache Produkt von ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}^{1},\lambda ^{1})$ mit sich selbst.

$\Box$

Definition

Das eindeutig bestimmte Maß ${}\lambda =\lambda ^{n}$ auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das für jeden Quader der Form ${}Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ den Wert ${}\lambda (Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})$ besitzt, heißt Borel-Lebesgue-Maß auf ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Bemerkung  

Das Borel-Lebesgue-Maß ordnet also jeder Borel-Menge eine reelle Zahl oder das Symbol ${}\infty$ zu. Die Quader bilden dabei die Grundkörper, denen auf eine besonders einfache Weise ein Maß zugeordnet wird, wodurch das gesamte Maß festgelegt wird. Für eine beliebige messbare Menge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist dabei ${}\lambda (T)$ gegeben als das Infimum von ${}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})$ über alle abzählbaren Überpflasterungen von ${}T$ mit Quadern (so war eben das äußere Maß definiert, mit dessen Hilfe wir den Fortsetzungssatz für Maße aufstellen konnten). Es gibt kein allgemeines Verfahren, für gegebene Mengen (beispielsweise Flächenstücke, Körper) ihr Maß (ihren Flächeninhalt, ihr Volumen) effektiv zu bestimmen. Eine wichtige Technik ist die Integration von Funktionen in einer und in mehreren Variablen.