Borel-Lebesgue-Maß/R/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Das Mengensystem aller Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R}$, die sich als eine endliche (disjunkte) Vereinigung von halboffenen Intervallen ${}[a,b[$ schreiben lassen,

ist ein Mengen-Präring.

Beweis

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ lässt sich genau dann als eine endliche Vereinigung von halboffenen Intervallen schreiben, wenn dies mit endlich vielen disjunkten halboffenen Teilmengen möglich ist, siehe Aufgabe. Die leere Menge ist das halboffene Interall ${}[a,a[$ (bzw. die leere Vereinigung). Die Abgeschlossenheit unter Vereinigungen ist klar. Sei ${}V=I_{1}\cup \ldots \cup I_{m}$ und ${}W=J_{1}\cup \ldots \cup J_{n}$. Dann ist

${}{\begin{aligned}V\setminus W&=(I_{1}\cup \ldots \cup I_{m})\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{n})\\&=(I_{1}\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{n}))\cup \ldots \cup (I_{m}\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{n}))\\&=((I_{1}\setminus J_{1})\setminus (J_{2}\cup \ldots \cup J_{n}))\cup \ldots \cup ((I_{m}\setminus J_{1})\setminus (J_{2}\cup \ldots \cup J_{n})).\end{aligned}}$

Da ${}I_{1}\setminus J_{1}$ eine Vereinigung von maximal zwei halboffenen Intervallen ist, folgt die Behauptung durch Induktion über ${}n$.

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Lemma

Es sei ${}{\mathcal {V}}$ der Mengen-Präring aller Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R}$, die sich als eine endliche Vereinigung von halboffenen Intervallen ${}[a,b[$ schreiben lassen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die zu ${}V\in {\mathcal {V}}$ über eine Zerlegung in disjunkte halboffene Intervalle ${}V=[a_{1},b_{1}[\uplus \ldots \uplus [a_{n},b_{n}[$ definierte Zahl

   ${}\mu (V)=\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,$

   ist wohldefiniert.

2. Durch die Zuordnung ${}V\mapsto \mu (V)$ wird ein Prämaß auf diesem Präring definiert.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Satz

Es sei ${}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ die ${}\sigma$-Algebra der Borel-Mengen auf ${}\mathbb {R}$.

Dann gibt es genau ein (${}\sigma$-endliches) Maß ${}\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert ${}\lambda ([a,b[)=b-a$ besitzt.

Statt halboffene Intervalle kann man auch offene oder abgeschlossene Intervalle nehmen.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, aus Fakt und aus Fakt. Durch die gegebene Normierung auf den Intervallen sind die in Frage stehenden Maße von vornherein ${}\sigma$-endlich. Der Zusatz gilt, da man halboffene Intervalle durch offene bzw. abgeschlossene Intervalle beliebig gut approximieren kann.

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Definition

Das eindeutig bestimmte Maß ${}\lambda ^{1}=\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert ${}\lambda ([a,b[)=b-a$ besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.

Für jede Borel-Menge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ ist

$\lambda (T)=\inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}[a_{i},b_{i}[,\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}\,.$