Cech-Kohomologie/Abgeleitete Kohomologie/Endliche azyklische Überdeckung/Übereinstimmung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {I}}$ eine Einbettung in eine injektive Garbe und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz (siehe Fakt  (3)) und wegen Fakt ist

${}H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\right)}\,.$

Wir definieren zuerst einen Homomorphismus

$\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\longrightarrow {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}}).$

Ein Schnitt ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$ legt Restriktionen ${}t_{i}=t{|}_{U_{i}}$ fest. Da ${}{\mathcal {F}}$ auf den ${}U_{i}$ keine Kohomologie besitzt, gibt es

${}s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {I}}\right)}\,,$

die auf die ${}t_{i}$ abbilden. Die Elemente (zu ${}i<j$)

${}r_{ij}:=s_{i}-s_{j}\,$

werden auf ${}0$ in ${}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {H}}\right)}$ abgebildet, daher ist

${}r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,.$

Für Indizes ${}i<j<k$ ist

${}r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=s_{i}-s_{j}-(s_{i}-s_{k})+s_{j}-s_{k}=0\,,$

deshalb ist die Kozykelbedingung erfüllt. Somit ist die Familie ${}{\left(r_{ij}\right)}_{i<j}$ ein Čech-Kozykel und definiert ein Element in ${}{\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})$. Diese Zuordnung ist unabhängig von den gewählten ${}s_{i}$ und ein Gruppenhomomorphismus, siehe Aufgabe. Es sei nun ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$ das Bild eines globalen Elementes ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$. Dann kann man die ${}s_{i}$ als ${}s{|}_{U_{i}}$ ansetzen und daher sind die zu ${}t$ konstruierten ${}r_{ij}$ alle gleich ${}0$. Ein solches Element ${}t$ wird also unter der angegebenen Abbildung auf ${}0$ abgebildet. Dies ergibt nach Fakt eine Faktorisierung

$H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\right)}\longrightarrow {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}}).$

Es sei nun umgekehrt ein erster Čech-Kozykel von ${}{\mathcal {F}}$ gegeben, der durch

${}{\left(r_{ij}\right)}_{i<j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,$

mit ${}r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=0$ repräsentiert sei. Wir fassen die ${}r_{ij}$ in ${}{\mathcal {I}}$ auf, und zwar als globale Elemente, was aufgrund der Welkheit von injektiven Garben möglich ist. Wir definieren

${}s_{i}:=r_{i1}\,$

(mit ${}s_{1}=0$) und fassen diese als Elemente in ${}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {I}}\right)}$ auf. Diese Schnitte erfüllen ${}s_{i}-s_{j}=r_{i1}-r_{j1}=r_{ij}$. Diese Elemente ${}s_{i}$ definieren Elemente

${}t_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {H}}\right)}\,.$

Da ihre Differenzen von ${}{\mathcal {F}}$ herrühren, sind sie verträglich und definieren ein globales Element

${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\,.$

Dies definiert über den verbindenden Homomorphismus ${}\delta$ die Kohomologieklasse

${}\delta (t)\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,.$

Wenn der Čech-Kozykel ${}r_{ij}$ durch andere Elemente ${}s_{i}'\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$ repräsentiert werden, so sind die Elemente ${}s_{i}-s_{i}'$, ${}i\in I$, wegen

${}(s_{i}-s_{i}')-(s_{j}-s_{j}')=s_{i}-s_{j}-(s_{i}'-s_{j}')=r_{ij}-r_{ij}=0\,$

verträglich und definieren ein globales Element in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$. Daher geht die Differenz der beiden Repräsentierungen in ${}H^{1}(X,{\mathcal {F}})$ auf ${}0$. Insgesamt liegt daher eine wohldefinierte Abbildung

${\check {Z}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\right)}$

vor. Es sei nun der Čech-Kozykel so, dass er die Nullklasse in der ersten Čech-Kohomologie definiert. Dann gibt es nach Definition Elemente ${}r_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {F}}\right)}$ mit

${}r_{i}-r_{j}=r_{ij}\,.$

Wir fassen diese Elemente wieder als globale Elemente in ${}{\mathcal {I}}$ auf und die ${}r_{i}$ können direkt die Rolle der ${}s_{i}$ von oben übernehmen. Dann sind die ${}t_{i}$ alle gleich ${}0$ und damit ist das Bild in ${}H^{1}(X,{\mathcal {F}})$ ebenfalls gleich ${}0$. Somit hat man eine Abbildung

${\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}}).$

Diese ist ein Gruppenhomomorphismus und invers zu der zuvor konstruierten Abbildung.

Zur bewiesenen Aussage