Cech-Kohomologie/Motivation/Textabschnitt

Wir fragen uns, ob es auf einem endlichen topologischen Raum, also einem Raum mit nur endlich vielen Punkten, nichttriviale Kohomomologie geben kann. Wenn der Raum diskret ist, also jeder Punkt offen und abgeschlossen ist, so kann es das nicht geben, da dann jede Garbe welk ist. Auch auf dem Spektrum eines diskreten Bewertungsringes (generell auf einem lokalen Raum, wie dem Spektrum eines lokalen Ringes) kann es keine nichttriviale Kohomologie geben. Aber schon in einem dreielementigen Raum tritt Kohomologie auf, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel

Wir betrachten den topologischen Raum ${}X=\{a,b,c\}$ mit den offenen Mengen ${}\emptyset ,X,U=\{a,c\},V=\{b,c\},U\cap V=\{c\}$. Dieser Raum besitzt die beiden abgeschlossenen Punkte ${}a$ und ${}b$, er ist irreduzibel und ${}c$ ist der generische Punkt. Abgesehen von der leeren Menge bilden die offenen Mengen das Inklusionsdiagramm

${\begin{matrix}X&{\stackrel {}{\longleftarrow }}&U&\\\uparrow &&\uparrow &\\V&{\stackrel {}{\longleftarrow }}&U\cap V&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$ ist gegeben, wenn man diesen Teilmengen Gruppen und Restriktionshomomorphismen zuweist (und die Verträglichkeitsbedingung überprüft). Wir betrachten die Garbe ${}{\mathcal {F}}$, die durch

${\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

gegeben ist. Diese kann man in die konstante Garbe ${}{\mathcal {F}}$ (mit Identitäten)

${\begin{matrix}\mathbb {Z} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {Z} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

einbetten. Die Quotientengarbe ${}{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$ ist durch

${\begin{matrix}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &{\stackrel {p_{2}}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\\\!\!\!\!\!p_{1}\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {Z} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

gegeben. Die Werte für ${}U\cap V,U,V$ ergeben sich direkt durch Restklassenbildung, die Vergarbung hat keinen Effekt, und für ${}X$ ergibt sich das Produkt ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, da die Schnitte über ${}U$ und ${}V$ automatisch verträglich sind. Somit ist die globale Abbildung

$\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}=\mathbb {Z} \longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$

nicht surjektiv, die lange exakte Kohomologiesequenz ist vielmehr

$0\longrightarrow 0\longrightarrow \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} {\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\mathbb {Z} \longrightarrow 0.$

Hierbei geht vorne ${}n\mapsto (n,n)$ und hinten ${}(r,s)\mapsto (r-s)$ (das folgt aus der Exaktheit).

Eine wichtige Frage ist umgekeht, ob man die Kohomologie eines komplizierten topologischen Raumes durch endliche Daten erfassen und berechnen kann. In der Tat ist dies in vielen Situationen über die Čech-Kohomologie möglich, die Bezug nimmt auf eine endliche offene Überdeckung einschließlich der zugehörigen Durchschnitte.

Beispiel

Wir knüpfen an Bemerkung an, es sei also ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und wir interessieren uns für die invertierbaren Garben auf ${}X$, und zwar für solche, die bezüglich einer fixierten offenen Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ Trivialisierungen besitzen. Diese invertierbaren Garben entsprechen den Datensätzen

$(U_{i},\,r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}{\text{ mit }}r_{kj}\cdot r_{ki}^{-1}\cdot r_{ji}=1{\text{ in }}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}),$

wobei allerdings ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Elemente ${}s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ mit ${}s_{i}\cdot s_{j}^{-1}=r_{ij}$ für alle ${}i,j$ gibt. Diese Situation kann man insgesamt durch den Komplex

$\prod _{i\in I}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j<k}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$

ausdrücken, wozu man auf ${}I$ eine totale Ordnung einführt und die vordere Abbildung durch

$(s_{i})\longmapsto (s_{j}s_{i}^{-1})_{i<j}$

und die hintere Abbildung durch

$(r_{ij})\longmapsto (r_{jk}r_{ik}^{-1}r_{ij})$

gegeben ist. Ein Element in der Mitte gehört genau dann zum Kern der hinteren Abbildung, wenn es die Kozykelbedingung erfüllt, und es gehört genau dann zum Bild der vorderen Abbildung, wenn es die triviale invertierbare Garbe repräsentiert.