Wir betrachten die Abbildung
(mit
Faktoren)
-
mit
-
Für fixierte
ist die Abbildung rechts
multilinear
und
alternierend,
wie eine direkte Überprüfung unter Verwendung der Determinantenregeln zeigt. Daher entspricht diese nach
Fakt
einem Element in
. Insgesamt liegt also eine Abbildung
-
vor. Eine direkte Prüfung zeigt, dass die Gesamtzuordung ebenfalls multilinear und alternierend ist. Aufgrund
der universellen Eigenschaft
gibt es daher eine
lineare Abbildung
-
Diese müssen wir als Isomorphismus nachweisen. Es sei dazu
eine
Basis
von
mit der zugehörigen
Dualbasis
. Nach
Fakt
bilden die
-
eine Basis von
. Ebenso bilden die
-
eine Basis von
mit zugehöriger Dualbasis
. Wir zeigen, dass
unter
auf
abgebildet wird. Für
ist
-
![{\displaystyle {\left(\psi {\left(v_{i_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}^{*}\right)}\right)}{\left(v_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{j_{k}}\right)}=\det {\left(v_{i_{r}}^{*}{\left(v_{j_{s}}\right)}_{1\leq r,s\leq k}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4142da85c4190e28b1bd01adf6e4f6337687f3c)
Bei
gibt es ein
, das von allen
verschieden ist. Daher ist die
-te Zeile der Matrix
und somit ist die Determinante
. Wenn dagegen die Indexmengen übereinstimmen, so ergibt sich die
Einheitsmatrix
mit der Determinante
. Diese Wirkungsweise stimmt mit der von
überein.