Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ Ideale mit ${}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=R$.

Dann ist

${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\,.$

Beweis

Die Inklusion ${}\supseteq$ gilt immer. Es sei also ${}x\in {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}$ und seien ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}b\in {\mathfrak {b}}$ Elemente mit ${}a+b=1$. Dann ist

${}x=x\cdot 1=x(a+b)=xa+xb\in {\mathfrak {b}}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\,.$

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}{\mathfrak {a}}_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$, Ideale mit ${}{\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=R$ für alle ${}i\neq j$.

Dann ist

${}R/{\mathfrak {a}}_{1}\cdots {\mathfrak {a}}_{n}\cong R/{\mathfrak {a}}_{1}\times \cdots \times R/{\mathfrak {a}}_{n}\,.$

Beweis

Der allgemeine Fall folgt aus dem Fall für ${}n=2$, sodass wir uns darauf beschränken. Die natürliche Abbildung

$R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}\times R/{\mathfrak {b}}$

hat den Durchschnitt ${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}$ als Kern. Dieser stimmt nach Fakt mit dem Produkt ${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}$ überein und wir erhalten einen injektiven Ringhomomorphismus

$R/{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}\times R/{\mathfrak {b}}.$

Es ist also noch die Surjektivität nachzuweisen. Es sei dazu ${}(r,s)$ rechts gegeben. Es seien ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}b\in {\mathfrak {b}}$ mit ${}a+b=1$. Dann ist ${}r-ar+s-sb$ ein Urbild. Dieses Element wird ja in der ersten Komponente auf

${}r-ar+s-sb=r+s-s(1-a)=r+s-s=r\,$

abgebildet und entsprechend in der zweiten Kompoente auf ${}s$.

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Satz

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ in einem Dedekindbereich mit der eindeutigen Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Dann gibt es einen natürlichen Ringisomorphismus

${}R/{\mathfrak {a}}\cong R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Beweis

Da Dedekindbereiche eindimensional sind und die Primideale in der Zerlegung verschieden sind, gilt ${}{\mathfrak {p}}_{i}+{\mathfrak {p}}_{j}=R$ für ${}i\neq j$. Dies überträgt sich direkt auf die Potenzen. Somit folgt die Aussage aus Fakt.

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