Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Sei , also . Dies induziert einen Ringautomorphismus (der fest lässt)

    und einen Körperautomorphismus

    der fest lässt, also ein Element der Galoisgruppe zur Körpererweiterung . Diese Zuordnung ist insgesamt ein Gruppenhomomorphismus aufgrund der Kommutativität des Diagramms

  2. Nach Aufgabe können wir davon ausgehen, indem wir durch den Zerlegungskörper und durch den Schnitt von mit dem Zerlegungsring ersetzen, dass die Zerlegungsgruppe die volle Galoisgruppe ist, dass also das einzige Primideal oberhalb von ist. Aufgrund der Voraussetzung über die Separabilität können wir nach dem Satz vom primitiven Element

    ansetzen, wobei wir unmittelbar annehmen können. Es sei das Minimalpolynom von über . Es ist also in und damit insbesondere in . Da eine Galoiserweiterung ist, zerfällt wegen Fakt in und damit wegen Fakt auch in in Linearfaktoren. Dies gilt dann auch in und überträgt sich auf das Minimalpolynom von über , was wiederum nach Fakt bedeutet, dass die Restekörpererweiterung galoissch ist.

    Es sei nun

    ein -Körperautomorphismus, der den Erzeuger auf ein Element schickt, das wir wiederum als repräsentiert durch eine Nullstelle von annehmen dürfen. Nach Fakt gehört dazu ein -Automorphismus von , der in überführt, und dessen Einschränkung stimmt mit überein, da er auf einem Erzeuger damit übereinstimmt.

  3. Nach Fakt  (4) ist im unverzweigten Fall und dies ist nach Definition der Grad der Körpererweiterung

    Da nach (2) die Restekörpererweiterung galoissch ist, besitzt deren Galoisgruppe ebenfalls Elemente und deshalb folgt aus der Surjektivität bereits die Bijektivität.