Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Sei ${}\sigma \in G_{\mathfrak {q}}$, also ${}\sigma ^{-1}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}$. Dies induziert einen Ringautomorphismus (der ${}R$ fest lässt)

   $\sigma \colon S_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{\mathfrak {q}}$

   und einen Körperautomorphismus

   $\sigma \colon \kappa ({\mathfrak {q}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}}),$

   der ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$ fest lässt, also ein Element der Galoisgruppe zur Körpererweiterung ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$. Diese Zuordnung ist insgesamt ein Gruppenhomomorphismus aufgrund der Kommutativität des Diagramms

   ${\begin{matrix}S_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {\sigma }{\longrightarrow }}&S_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {\tau }{\longrightarrow }}&S_{\mathfrak {q}}&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\kappa ({\mathfrak {q}})&{\stackrel {\sigma }{\longrightarrow }}&\kappa ({\mathfrak {q}})&{\stackrel {\tau }{\longrightarrow }}&\kappa ({\mathfrak {q}})&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

2. Nach Aufgabe können wir davon ausgehen, indem wir ${}K$ durch den Zerlegungskörper und ${}{\mathfrak {p}}$ durch den Schnitt von ${}{\mathfrak {q}}$ mit dem Zerlegungsring ersetzen, dass die Zerlegungsgruppe die volle Galoisgruppe ist, dass also ${}{\mathfrak {q}}$ das einzige Primideal oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ ist. Aufgrund der Voraussetzung über die Separabilität können wir nach dem Satz vom primitiven Element

   ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]\,$

   ansetzen, wobei wir unmittelbar ${}z\in S$ annehmen können. Es sei ${}P\in R[X]$ das Minimalpolynom von ${}z$ über ${}R$. Es ist also ${}P(z)=0$ in ${}S$ und damit insbesondere ${}P(z)=0$ in ${}\kappa ({\mathfrak {q}})$. Da ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung ist, zerfällt wegen Fakt ${}P$ in ${}L[X]$ und damit wegen Fakt auch in ${}S[X]$ in Linearfaktoren. Dies gilt dann auch in ${}\kappa ({\mathfrak {q}})[X]$ und überträgt sich auf das Minimalpolynom von ${}z$ über ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$, was wiederum nach Fakt bedeutet, dass die Restekörpererweiterung galoissch ist.

   Es sei nun

   $\tau \colon \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]$

   ein ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$-Körperautomorphismus, der den Erzeuger ${}z$ auf ein Element ${}w\in \kappa ({\mathfrak {q}})$ schickt, das wir wiederum als repräsentiert durch eine Nullstelle ${}w$ von ${}P$ annehmen dürfen. Nach Fakt gehört dazu ein ${}K$-Automorphismus von ${}L$, der ${}z$ in ${}w$ überführt, und dessen Einschränkung stimmt mit ${}\tau$ überein, da er auf einem Erzeuger damit übereinstimmt.

3. Nach Fakt  (4) ist im unverzweigten Fall ${}{\#\left(G_{\mathfrak {q}}\right)}=f$ und dies ist nach Definition der Grad der Körpererweiterung

   ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})\,.$

   Da nach (2) die Restekörpererweiterung galoissch ist, besitzt deren Galoisgruppe ebenfalls ${}f$ Elemente und deshalb folgt aus der Surjektivität bereits die Bijektivität.

Zur bewiesenen Aussage