Die Fakultätsfunktion/Reell/Textabschnitt

Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$ ist ${}n!=\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$. Dabei gilt die rekursive Beziehung ${}n!=n((n-1)!)$. Gibt es eine Möglichkeit, diese für die natürlichen Zahlen definierte Funktion auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ durch eine differenzierbare Funktion ${}f$ fortzusetzen? Ist es sogar möglich, dass dabei die Beziehung ${}f(x)=xf(x-1)$ für jedes ${}x$ gilt? Wir werden mit Hilfe von uneigentlichen Integralen zeigen, dass dies in der Tat möglich ist.

Beispiel

Es sei ${}x>-1$. Wir betrachten die Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{x}e^{-t}.$

Wir behaupten, dass das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$

existiert. Für den rechten Rand (also ${}\infty$) betrachten wir eine natürliche Zahl ${}n\geq x$. Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion (siehe Aufgabe), gibt es ein ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ derart, dass ${}t^{n}e^{-{\frac {t}{2}}}\leq 1$ für alle ${}t\geq a$ gilt. Daher ist

${}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}t^{x}e^{-t}\,dt&\leq \int _{a}^{b}t^{n}e^{-t}\,dt\\&=\int _{a}^{b}t^{n}e^{-{\frac {t}{2}}}e^{-{\frac {t}{2}}}\,dt\\&\leq \int _{a}^{b}e^{-{\frac {t}{2}}}\,dt\\&=2{\left(e^{-{\frac {a}{2}}}-e^{-{\frac {b}{2}}}\right)}\\&\leq 2e^{-{\frac {a}{2}}}.\end{aligned}}$

Für ${}b\rightarrow \infty$ wächst das linke Integral und ist durch ${}2e^{-{\frac {a}{2}}}$ beschränkt, sodass der Grenzwert existiert. Für das Verhalten am linken Rand (das nur bei ${}-1<x\leq 0$ problematisch ist) müssen wir wegen ${}e^{-t}\leq 1$ nach Fakt nur ${}\int _{0}^{1}t^{x}\,dt$ betrachten. Eine Stammfunktion davon ist ${}{\frac {1}{x+1}}t^{x+1}$, deren Exponent positiv ist, sodass der Limes für ${}t\rightarrow 0$ existiert.

Das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$

existiert also für ${}x\in \mathbb {R} ,\ x>-1$. Dies ist der Ausgangspunkt für die Definition der Fakultätsfunktion.

Definition

Für ${}x\in \mathbb {R}$, ${}x>-1$, heißt die Funktion

$x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$

die Fakultätsfunktion.

Die für ${}x>0$ durch

${}\Gamma (x):=\operatorname {Fak} \,(x-1)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt\,$

definierte Funktion heißt Gammafunktion, mit der häufiger gearbeitet wird. Mit der Fakultätsfunktion werden aber die Formeln etwas schöner und insbesondere wird der Zusammenhang zur Fakultät, der in der folgenden Aussage aufgezeigt wird, deutlicher.

Satz

Die Fakultätsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}\operatorname {Fak} \,(x)=x\cdot \operatorname {Fak} \,(x-1)$ für ${}x>0$.
2. Es ist ${}\operatorname {Fak} \,(0)=1$.
3. Es ist ${}\operatorname {Fak} \,(n)=n!$ für natürliche Zahlen ${}n\in \mathbb {N}$.
4. Es ist ${}\operatorname {Fak} \,{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\sqrt {\pi }}$.

Beweis

(1) Mittels partieller Integration ergibt sich (für reelle Zahlen ${}b\geq a>0$ bei fixiertem ${}x>0$)

${}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}t^{x}e^{-t}\,dt&=-t^{x}e^{-t}|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}xt^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=-b^{x}e^{-b}+a^{x}e^{-a}+x\cdot \int _{a}^{b}t^{x-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}$

Für ${}b\rightarrow \infty$ geht ${}b^{x}e^{-b}\rightarrow 0$ und für ${}a\rightarrow 0$ geht ${}a^{x}e^{-a}\rightarrow 0$ (da ${}x$ positiv ist). Wendet man auf beide Seiten diese Grenzwertprozesse an, so erhält man ${}\operatorname {Fak} \,(x)=x\operatorname {Fak} \,(x-1)$.
(2). Es ist

${}\operatorname {Fak} \,(0)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=-e^{-t}|_{0}^{\infty }=1\,.$

(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion.
(4). Es ist

${}\operatorname {Fak} \,{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}\,dt=2\int _{0}^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds={\sqrt {\pi }}\,.$

Dies ergibt sich mit der Substitution ${}t=s^{2}$ und dem sogenannten Fehlerintegral.

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