Die Fakultätsfunktion/Reell/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Die Fakultät einer natürlichen Zahl ist . Dabei gilt die rekursive Beziehung . Gibt es eine Möglichkeit, diese für die natürlichen Zahlen definierte Funktion auf durch eine differenzierbare Funktion fortzusetzen? Ist es sogar möglich, dass dabei die Beziehung für jedes gilt? Wir werden mit Hilfe von uneigentlichen Integralen zeigen, dass dies in der Tat möglich ist.


Beispiel  

Sei . Wir betrachten die Funktion

Wir behaupten, dass das uneigentliche Integral

existiert. Für den rechten Rand (also ) betrachten wir eine natürliche Zahl . Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion (siehe Aufgabe), gibt es ein derart, dass gilt für alle . Daher ist

Für wächst das linke Integral und ist durch beschränkt, so dass der Grenzwert existiert. Für das Verhalten am linken Rand (das nur bei problematisch ist) müssen wir wegen nach Fakt nur betrachten. Eine Stammfunktion davon ist , deren Exponent positiv ist, so dass der Limes für existiert.


Das uneigentliche Integral

existiert also für . Dies ist der Ausgangspunkt für die Definition der Fakultätsfunktion.


Definition  

Für , , heißt die Funktion

die Fakultätsfunktion.

Die für durch

definierte Funktion heißt Gammafunktion, mit der häufiger gearbeitet wird. Mit der Fakultätsfunktion werden aber die Formeln etwas schöner und insbesondere wird der Zusammenhang zur Fakultät, der in der folgenden Aussage aufgezeigt wird, deutlicher.

Factorial plot.png




Satz  

Die Fakultätsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist für .
  2. Es ist .
  3. Es ist für natürliche Zahlen .
  4. Es ist .

Beweis  

(1) Mittels partieller Integration ergibt sich (für reelle Zahlen bei fixiertem )

Für geht und für geht (da positiv ist). Wendet man auf beide Seiten diese Grenzwertprozesse an, so erhält man .
(2). Es ist


(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion.
(4). Es ist

Dies ergibt sich mit der Substitution und dem sogenannten Fehlerintegral.