Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

1. Der topologische Raum ${}X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x,y\in X$ zwei offene Mengen ${}U$ und ${}V$ gibt mit ${}x\in U,\,y\in V$ und ${}U\cap V=\emptyset$.
2. Es seien ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von ${}M$ und ${}N$. Die Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   heißt differenzierbar, wenn sie stetig ist und wenn für alle ${}i\in I$ und alle ${}j\in J$ die Abbildungen

   $\beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'$

   stetig differenzierbar sind.

3. Man nennt die Menge

   ${}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$

   versehen mit der Projektionsabbildung

   $\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,$

   das Tangentialbündel von ${}M$.

4. Es sei ${}Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ orientiert, wobei wir ${}N$ als Feld auf ${}V$ auffassen. Dann setzt man

   ${}h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\partial _{j}\varphi ,N\right\rangle \,.$

   Die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$ ist die (von ${}Q\in V$) abhängige Matrix

   ${}H={\left(h_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}\,.$

5. Die äußere Ableitung von ${}\omega$ wird lokal auf einer Karte, auf der ${}\omega$ die Gestalt

   ${}\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k,\,I\subseteq \{1,\ldots ,\operatorname {dim} \,M\}}f_{I}dx_{I}\,$

   besitzt, durch

   ${}d\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k}d(f_{I})\wedge dx_{I}\,$

   definiert.

6. Eine Familie von Funktionen

   $h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit ${}j\in J$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.

   1. Es ist ${}h_{j}(X)\subseteq [0,1]$ für alle ${}j\in J$.
   2. Jeder Punkt ${}P\in X$ besitzt eine offene Umgebung ${}P\in U$ derart, dass die eingeschränkten Funktionen ${}h_{j}{|}_{U}$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
   3. Es ist ${}\sum _{j\in J}h_{j}=1$.
   4. Für jedes ${}j\in J$ gibt es eine offene Menge ${}W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart, dass der Träger von ${}h_{j}$ in ${}W_{i(j)}$ liegt.

Zur gelösten Aufgabe