Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Es sei  ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und  ${}Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  ${}c\in \mathbb {R}$,  wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}Y$ zusammenhängend. Dann gibt es genau zwei Orientierungen auf ${}Y$.
2. Es sei  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n}$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf ${}U$ mit den zugehörigen Differentialoperatoren  ${}D=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}$  und  ${}E=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$  Dann gilt

   ${}D\circ E-E\circ D=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\right)}\partial _{j}\,.$

   Insbesondere entspricht dieser Ausdruck selbst einem Differentialoperator der Ordnung ${}1$ und somit einem Vektorfeld.
3. Es sei ${}M$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie. Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow \partial M,$

   deren Einschränkung

   auf ${}\partial M$ die Identität ist.

Zur gelösten Aufgabe