Differentialgleichungen/System/Polygonzugverfahren/Textabschnitt

Mit dem (eulerschen) Polygonzugverfahren wird die Lösungskurve einer Differentialgleichung diskret approximiert.

Verfahren  

Es sei ein Vektorfeld

$F\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$

auf einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d}$ und eine Anfangsbedingung ${}y(t_{0})=P\in \mathbb {R} ^{d}$ gegeben. Das eulersche Polygonzugverfahren funktioniert folgendermaßen: Man wählt eine Schrittweite ${}s>0$ und berechnet rekursiv die Punktfolge ${}P_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, durch ${}P_{0}=P$ und

${}P_{n+1}=P_{n}+sF(t_{0}+ns,P_{n})\,.$

Zu einem schon konstruierten Punkt ${}P_{n}$ wird also das ${}s$-fache des Richtungsvektors zum Zeitpunkt ${}t_{0}+ns$ an diesem Punkt hinzuaddiert. Dies funktioniert nur, solange die Punkte im Definitionsbereich des Vektorfeldes liegen. Der zu dieser Punktfolge gehörende Streckenzug oder Polygonzug

$\delta \colon \mathbb {R} _{\geq t_{0}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$

ist die lineare Interpolation mit ${}\delta (t_{0}+ns)=P_{n}$, d.h. für ${}t$ mit ${}t_{0}+ns\leq t\leq t_{0}+(n+1)s$ ist

${}\delta (t)=P_{n}+{\frac {t-t_{0}-ns}{s}}{\left(P_{n+1}-P_{n}\right)}\,.$

Dieser Streckenzug ${}\delta$ stellt eine stückweise lineare Approximation der Lösungskurve des Anfangswertproblems dar. Für eine kleinere Schrittweite wird die Approximation im Allgemeinen besser.

Beispiel

Bei einer eindimensionalen ortsunabhängigen Differentialgleichung

${}y'=g(t)\,$

ergibt sich ${}y$ einfach als eine Stammfunktion zu ${}g$. Wendet man in dieser Situation Fakt zum Startzeitpunkt ${}t_{0}$, zum Startpunkt ${}c$ und zur Schrittweite ${}s$ an, so ergibt sich die rekursive Beziehung

$P_{0}=c{\text{ und }}P_{n+1}=P_{n}+sg(t_{0}+ns).$

Daher ist offenbar

$P_{n}=c+s{\left(g(t_{0})+g(t_{0}+s)+g(t_{0}+2s)+\cdots +g(t_{0}+(n-1)s)\right)}\,.$

D.h. dass man zu dem Ausgangswert ${}c$ das Treppenintegral zur äquidistanten Unterteilung ${}t_{0},t_{0}+s,t_{0}+2s,\ldots ,t_{0}+(n-1)s$ (und zur durch $g(t_{0}+ks)$ auf dem Teilintervall ${}[t_{0}+ks,t_{0}+(k+1)s[$ gegebenen Treppenfunktion) hinzuaddiert. Der zugehörige Streckenzug ist die (stückweise lineare) Integralfunktion zu dieser Treppenfunktion.

Beispiel

Wir wollen für das Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x^{2}-ty\\txy\end{pmatrix}}=F(t,x,y)\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,$

gemäß Fakt einen approximierenden Streckenzug berechnen. Wir wählen die Schrittweite ${}s={\frac {1}{10}}$. Somit ist

${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,,$

${}P_{1}=P_{0}+{\frac {1}{10}}F{\left(0,P_{0}\right)}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1,1\\1\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{aligned}P_{2}&=P_{1}+{\frac {1}{10}}F{\left({\frac {1}{10}},P_{1}\right)}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {11}{10}}\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}{\left({\frac {11}{10}}\right)}^{2}-{\frac {1}{10}}\cdot 1\\{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {11}{10}}\cdot 1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {11}{10}}\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}{\frac {111}{100}}\\{\frac {11}{100}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1211}{1000}}\\{\frac {1011}{1000}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}P_{3}&=P_{2}+{\frac {1}{10}}F{\left({\frac {2}{10}},P_{2}\right)}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1211}{1000}}\\{\frac {1011}{1000}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}{\left({\frac {1211}{1000}}\right)}^{2}-{\frac {2}{10}}\cdot {\frac {1011}{1000}}\\{\frac {2}{10}}\cdot {\frac {1211}{1000}}\cdot {\frac {1011}{1000}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1211}{1000}}\\{\frac {1011}{1000}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}{\frac {1264321}{1000000}}\\{\frac {2448642}{10000000}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {133743210}{100000000}}\\{\frac {103548642}{100000000}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$