Differentialgleichungen/System/Polygonzugverfahren/Textabschnitt

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Mit dem (eulerschen) Polygonzugverfahren wird die Lösungskurve einer Differentialgleichung diskret approximiert.

Euler method.png


Verfahren  

Es sei ein Vektorfeld

auf einer offenen Menge und eine Anfangsbedingung gegeben. Das eulersche Polygonzugverfahren funktioniert folgendermaßen: Man wählt eine Schrittweite und berechnet rekursiv die Punktfolge , , durch und

Zu einem schon konstruierten Punkt wird also das -fache des Richtungsvektors zum Zeitpunkt an diesem Punkt hinzuaddiert. Dies funktioniert nur, solange die Punkte im Definitionsbereich des Vektorfeldes liegen. Der zu dieser Punktfolge gehörende Streckenzug oder Polygonzug

ist die lineare Interpolation mit , d.h. für mit ist

Dieser Streckenzug stellt eine stückweise lineare Approximation der Lösungskurve des Anfangswertproblems dar. Für eine kleinere Schrittweite wird die Approximation im Allgemeinen besser.


Beispiel  

Bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung

ergibt sich einfach als eine Stammfunktion zu . Wendet man in dieser Situation Fakt zum Startzeitpunkt , zum Startpunkt und zur Schrittweite an, so ergibt sich die rekursive Beziehung

Daher ist offenbar

D.h. dass man zu dem Ausgangswert das Treppenintegral zur äquidistanten Unterteilung (und zur durch auf dem Teilintervall gegebenen Treppenfunktion) hinzuaddiert. Der zugehörige Streckenzug ist das (stückweise lineare) Integralfunktion zu dieser Treppenfunktion.



Beispiel  

Wir wollen für das Differentialgleichungssystem

mit der Anfangsbedingung

gemäß Fakt einen approximierenden Streckenzug berechnen. Wir wählen die Schrittweite . Somit ist

und