Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialklassen und R^n unter Karte/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist wegen Fakt klar. Die Injektivität folgt unmittelbar aus der Definition. Zur Surjektivität sei ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$. Wir betrachten die affin-lineare Kurve

$\theta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto \theta (t)=\alpha (P)+tv,$

dessen Ableitung in ${}0$ gerade ${}v$ ist. Wir schränken diese Kurve auf ein Intervall ${}0\in I\subseteq \mathbb {R}$ derart ein, dass ${}\theta (I)\subseteq V$ ist und betrachten

$\gamma =\alpha ^{-1}\circ \theta \colon I\longrightarrow M.$

Für diese Kurve gilt

${}\gamma (0)={\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}(0)=\alpha ^{-1}(\theta (0))=\alpha ^{-1}(\alpha (P))=P\,$

und

${}{\left(\alpha \circ \gamma \right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}\right)}'(0)=\theta '(0)=v\,.$

(2). Durch Übergang zu kleineren offenen Mengen können wir annehmen, dass zwei Karten

$\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$

und

$\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$

vorliegen. Die Übergangsabbildung

$\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

ist ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus und für ihr totales Differential in ${}\alpha _{1}(P)$ gilt nach der Kettenregel die Beziehung

${}{\left(D(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1})\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left((\alpha _{1}\circ \gamma )'(0)\right)}=(\alpha _{2}\circ \gamma )'(0)\,.$

Das bedeutet, dass das Diagramm

${\begin{matrix}T_{P}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei vertikal das totale Differential zu ${}\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ steht, kommutiert. Da das totale Differential eine lineare Abbildung ist, die in der gegebenen Situation bijektiv ist, macht es keinen Unterschied, ob man die Addition und die Skalarmultiplikation auf ${}T_{P}M$ unter Bezug auf die obere oder die untere horizontale Abbildung definiert.

Zur bewiesenen Aussage