Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialklassen und R^n unter Karte/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist wegen Fakt klar. Die Injektivität folgt unmittelbar aus der Definition. Zur Surjektivität sei . Wir betrachten die affin-lineare Kurve

dessen Ableitung in gerade ist. Wir schränken diese Kurve auf ein Intervall derart ein, dass ist und betrachten

Für diese Kurve gilt

und


(2). Durch Übergang zu kleineren offenen Mengen können wir annehmen, dass zwei Karten

und

vorliegen. Die Übergangsabbildung

ist ein -Diffeomorphismus und für ihr totales Differential in gilt nach der Kettenregel die Beziehung

Das bedeutet, dass das Diagramm

wobei vertikal das totale Differential zu steht, kommutiert. Da das totale Differential eine lineare Abbildung ist, die in der gegebenen Situation bijektiv ist, macht es keinen Unterschied, ob man die Addition und die Skalarmultiplikation auf unter Bezug auf die obere oder die untere horizontale Abbildung definiert.

Zur bewiesenen Aussage