Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialklassen und R^n unter Karte/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist wegen Fakt klar. Die Injektivität folgt unmittelbar aus der Definition. Zur Surjektivität sei  $v\in {ℝ}^n$.  Wir betrachten die affin-lineare Kurve

$\theta :ℝ⟶{ℝ}^n,t⟼\theta (t)=\alpha (P)+tv,$

dessen Ableitung in $0$ gerade $v$ ist. Wir schränken diese Kurve auf ein Intervall  $0\in I\subseteq ℝ$  derart ein, dass  $\theta (I)\subseteq V$  ist und betrachten

$\gamma ={\alpha }^{-1}\circ \theta :I⟶M.$

Für diese Kurve gilt

$\gamma (0)=({\alpha }^{-1}\circ \theta )(0)={\alpha }^{-1}(\theta (0))={\alpha }^{-1}(\alpha (P))=P$

und

$(\alpha \circ \gamma )(0)=(\alpha \circ ({\alpha }^{-1}\circ \theta ))(0)={\theta }^{\prime }(0)=v.$

(2). Durch Übergang zu kleineren offenen Mengen können wir annehmen, dass zwei Karten

${\alpha }_1:U⟶V_1$

und

${\alpha }_2:U⟶V_2$

vorliegen. Die Übergangsabbildung

${\alpha }_2\circ {\alpha }_1^{-1}:V_1⟶V_2$

ist ein $C^1$-Diffeomorphismus und für ihr totales Differential in ${\alpha }_1(P)$ gilt nach der Kettenregel die Beziehung

${(D({\alpha }_2\circ {\alpha }_1^{-1}))}_{{\alpha }_1(P)}(({\alpha }_1\circ \gamma {)}^{\prime }(0))=({\alpha }_2\circ \gamma {)}^{\prime }(0).$

Das bedeutet, dass das Diagramm

$\begin{array}{cccc}{T}_{P}M& \stackrel{}{⟶}& {ℝ}^n& \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & {ℝ}^n& ,\end{array}$

wobei vertikal das totale Differential zu ${\alpha }_2\circ {\alpha }_1^{-1}$ steht, kommutiert. Da das totale Differential eine lineare Abbildung ist, die in der gegebenen Situation bijektiv ist, macht es keinen Unterschied, ob man die Addition und die Skalarmultiplikation auf $T_{P}M$ unter Bezug auf die obere oder die untere horizontale Abbildung definiert.

Zur bewiesenen Aussage