Beweis
(1). Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist wegen
Fakt
klar. Die
Injektivität
folgt unmittelbar aus der
Definition.
Zur
Surjektivität
sei
.
Wir betrachten die
affin-lineare Kurve
-
dessen
Ableitung
in
gerade
ist. Wir schränken diese Kurve auf ein Intervall
derart ein, dass
ist und betrachten
-
Für diese Kurve gilt
-

und
-

(2). Durch Übergang zu kleineren offenen Mengen können wir annehmen, dass zwei Karten
-
und
-
vorliegen. Die
Übergangsabbildung
-
ist ein
-Diffeomorphismus
und für ihr
totales Differential
in
gilt nach
der Kettenregel
die Beziehung
-

Das bedeutet, dass das Diagramm
-
wobei vertikal das totale Differential zu
steht, kommutiert. Da das totale Differential eine
lineare Abbildung
ist, die in der gegebenen Situation bijektiv ist, macht es keinen Unterschied, ob man die Addition und die Skalarmultiplikation auf
unter Bezug auf die obere oder die untere horizontale Abbildung definiert.