Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Unendlich/Abzählbare Topologie/Erste Kohomologie/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden Fakt und arbeiten mit Čech-Kohomologie. Es sei $M = ⋃_{i \in I} U_{i}$ eine offene Überdeckung und sei ein Čech-Kozykel $h_{i j} \in Γ (U_{i j}, ℰ)$ gegeben. Wir arbeiten mit der $C^{\infty}$ -Version der Partition der Eins, siehe Fakt. Es sei also $g_{j}$ , $j \in J$ eine Partition der Eins, die der offenen Überdeckung $U_{i}$ untergeordnet ist. Wir arbeiten mit der neuen Indexmenge $J$ über

U_{j} := U_{i (j)},

somit ist der Träger von $g_{j}$ in $U_{j}$ . Die $U_{j}$ bilden ebenfalls eine offene Überdeckung und es liegt eine Verfeinerung der Ausgangsüberdeckung mit der Verfeinerungsabbildung $j \mapsto i (j)$ vor (es kommen die gleichen Mengen vor, nur eventuell mehrfach). Wir arbeiten mit dem Kozykel auf der Verfeinerung und nennen die Indexmenge wieder $I$ .

Wir betrachten die Funktionen $g_{j} h_{i j}$ , diese ist auf $U_{i} \cap U_{j}$ definiert, kann aber durch $0$ auf ganz $U_{i}$ fortgesetzt werden.

Wir setzen

f_{i} = \sum_{j \in I} g_{j} h_{i j},

was wegen der lokalen Endlichkeit wohldefiniert ist und somit eine $C^{\infty}$ -Funktion auf $U_{i}$ ist. Die Kozykelbedingung $h_{i j} = h_{i k} - h_{j k}$ auf $U_{i} \cap U_{j} \cap U_{k}$ überträgt sich durch Multiplikation mit $g_{k}$ auf $U_{i} \cap U_{j}$ , da außerhalb von $U_{k}$ beide Seiten zu $0$ werden. Damit ist auf $U_{i} \cap U_{j}$

\begin{matrix} h_{i j} & = \sum_{k \in I} g_{k} h_{i j} \\ = \sum_{k \in I} g_{k} (h_{i k} - h_{j k}) \\ = \sum_{k \in I} g_{k} h_{i k} - \sum_{k \in I} g_{k} h_{j k} \\ = f_{i} - f_{j} \end{matrix}

und die durch den Kozykel definierte Kohomologieklasse ist trivial.

Zur bewiesenen Aussage