Beweis
Wir verwenden
Fakt
und arbeiten mit Čech-Kohomologie. Es sei
eine
offene Überdeckung
und sei ein
Čech-Kozykel
gegeben. Wir arbeiten mit der
-Version der Partition der Eins, siehe
Fakt.
Es sei also
,
eine Partition der Eins, die der offenen Überdeckung
untergeordnet ist. Wir arbeiten mit der neuen Indexmenge
über
-

somit ist der Träger von
in
. Die
bilden ebenfalls eine offene Überdeckung und es liegt eine
Verfeinerung
der Ausgangsüberdeckung mit der Verfeinerungsabbildung
vor
(es kommen die gleichen Mengen vor, nur eventuell mehrfach).
Wir arbeiten mit dem Kozykel auf der Verfeinerung und nennen die Indexmenge wieder
.
Wir betrachten die Funktionen
, diese ist auf
definiert, kann aber durch
auf ganz
fortgesetzt werden.
Wir setzen
-

was wegen der lokalen Endlichkeit wohldefiniert ist und somit eine
-Funktion auf
ist. Die Kozykelbedingung
auf
überträgt sich durch Multiplikation mit
auf
, da außerhalb von
beide Seiten zu
werden. Damit ist auf

und die durch den Kozykel definierte Kohomologieklasse ist trivial.