Diskrete Mathematik (Bochum 2004)/Klausur

Vorlesung zur Diskreten Mathematik für Ingenieure (Bochum 2004)

Klausur

Dauer: Vier volle Stunden. Zum Bestehen braucht man die Hälfte der Punktzahl. Erlaubt sind alle schriftlichen Hilfsmittel, aber keine elektronischen Hilfsmittel.

Aufgabe * (4 Punkte)

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der ${}1$ für die beiden Zahlen ${}19$ und ${}109$.

b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie

${}\mathbb {Z} /(2071)\cong \mathbb {Z} /(19)\times \mathbb {Z} /(109)\,.$

Welche Restklasse modulo ${}2071$ entspricht dem Restklassenpaar ${}(1,0)$ und welche dem Paar ${}(0,1)$?

c) Bestimme diejenige Restklasse modulo ${}2071$, die modulo ${}19$ den Rest ${}5$ hat und die modulo ${}109$ den Rest ${}10$ hat.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K=\mathbb {Z} /(59)$ der Körper mit ${}59$ Elementen.

a) Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in ${}K$.

b) Berechne in ${}K$ die Zweierpotenzen ${}2^{4}$, ${}2^{8}$ und ${}2^{16}$.

c) Berechne ${}2^{29}$ in ${}K$.

d) Man gebe für jede mögliche (multiplikative) Ordnung in ${}K^{\times }$ ein Element an, das diese Ordnung besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:

$\left({\frac {1003}{4459}}\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen ${}n$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ derart, dass ${}a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ gilt.

a) ${}n=49$.

b) ${}n=75$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} /(11)[X]$ den (normierten) größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome

$X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+3\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,X^{2}+7X+10.$

Aufgabe (4 Punkte)

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}F=X^{3}+X+2$ in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$.

b) Zeige, dass durch

$K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$

ein Körper mit ${}25$ Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von ${}F=X^{3}+X+2$ über ${}K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ${}K=\mathbb {Z} /(7)$. Bestimme alle Punkte in ${}K^{2}=K\times K$, die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung

${}X^{2}Y+2Y^{3}+3Y^{2}=0\,$

gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die durch die homogene Gleichung

${}ZX^{2}=Y^{3}\,$

gegebene projektive Kurve ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}0$.

a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.

b) Zeige, dass durch die Zuordnung

$\varphi :(S,T)\longmapsto \left(T^{3},\,ST^{2},\,S^{3}\right)=(X,Y,Z)$

eine wohldefinierte Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {P} }_{}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{}^{2}$

gegeben ist.

c) Zeige, dass die Bildpunkte von ${}\varphi$ auf der Kurve ${}C$ liegen.

d) Welche Punkte in ${}{\mathbb {P} }_{}^{1}$ entsprechen den singulären Punkten der Kurve ${}C$.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachten Sie die elliptische Kurve, die durch die affine Gleichung

$Y^{2}=X^{3}-X=X(X+1)(X-1)$

gegeben ist, über dem Körper ${}K=\mathbb {Z} _{13}$.

a) Zeigen Sie: ${}P=(1,0)$, ${}Q=(5,4)$ und ${}R=(8,7)$ sind Punkte der Kurve.

b) Berechnen Sie ${}P+Q$.

c) Berechnen Sie ${}Q+R$.

d) Berechnen Sie ${}R+R$.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachten Sie die algebraische Kurve über ${}K=\mathbb {Z} /(11)$, die durch die affine Gleichung

$Y^{2}+3Y+7=X^{3}+4X^{2}+5X+2$

gegeben ist.

a) Führen Sie eine affine Variablentransformation der Form

$X=r{\overline {X}}+s{\overline {Y}}+t,\,\,Y=u{\overline {X}}+v{\overline {Y}}+w$

durch derart, dass die Kurve in den neuen Variablen ${}{\overline {X}},{\overline {Y}}$ affine Standardgestalt besitzt. Geben sie diese affine Standardgestalt an.

b) Entscheiden Sie, ob eine elliptische Kurve vorliegt oder nicht.