Dreiecksgeometrie/Winkelhalbierende/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu zwei linear unabhängigen Vektoren ${}v$ und ${}w$ in einem normierten reellen Vektorraum ${}V$ nennt man die von

${\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}+{\frac {w}{\Vert {w}\Vert }}$

erzeugte Gerade die Winkelhalbierende der beiden Strahlen.

Die Winkelhalbierende wird also ohne Bezug auf einen Winkel definiert, es wird ja noch nicht einmal ein Skalarprodukt vorausgesetzt. Wenn sich aber die beiden Vektoren in einem euklidischen Raum befinden, so zeigt eine einfache Überlegung (siehe Aufgabe), dass die Winkelhalbierende in der Tat den Winkel halbiert. Die Definition überträgt sich direkt auf einen affinen Raum über einem normierten Vektorraum, und zwar definieren drei nicht kollineare Punkte jeweils eine Winkelhalbierende durch jeden der beteiligten Punkte.

Lemma

Es seien ${}v,w$ linear unabhängige Vektoren in ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Dann liegen auf der Winkelhalbierenden zu ${}v$ und ${}w$ nur Punkte, die zu ${}\mathbb {R} v$ und ${}\mathbb {R} w$ den gleichen Abstand haben. Wenn ein Punkt zu ${}\mathbb {R} v$ und ${}\mathbb {R} w$ den gleichen Abstand besitzt, so liegt er auf der Winkelhalbierenden zu ${}v$ und ${}w$ oder auf der Winkelhalbierenden zu ${}v$ und ${}-w$.

Beweis

Wir können annehmen, dass ${}v$ und ${}w$ normiert sind. Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$. Nach Fakt ist

${}d(P,\mathbb {R} v)^{2}=\Vert {P}\Vert ^{2}-\left\langle P,v\right\rangle ^{2}\,$

und entsprechend

${}d(P,\mathbb {R} w)^{2}=\Vert {P}\Vert ^{2}-\left\langle P,w\right\rangle ^{2}\,.$

Also sind die Abstände genau dann gleich, wenn

${}\left\langle P,v\right\rangle =\pm \left\langle P,w\right\rangle \,$

ist. Wenn

${}P=s(v+w)\,$

ist, so ist

${}\left\langle P,v\right\rangle =\left\langle s(v+w),v\right\rangle =s+s\left\langle w,v\right\rangle =\left\langle s(v+w),w\right\rangle =\left\langle P,w\right\rangle \,$

und die Gleichung gilt. Für die Umkehrung können wir

${}P=sv+tw\,$

ansetzen. Bei

${}\left\langle P,v\right\rangle =\left\langle P,w\right\rangle \,$

folgt

${}s+t\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle sv+tw,v\right\rangle =\left\langle sv+tw,w\right\rangle =t+s\left\langle v,w\right\rangle \,$

und somit

${}s{\left(1-\left\langle v,w\right\rangle \right)}=t{\left(1-\left\langle v,w\right\rangle \right)}\,.$

Da ${}v$ und ${}w$ normiert und linear unabhängig sind, ist nach Aufgabe

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert <1\,,$

der rechte Faktor ist nicht ${}0$ und somit ist ${}s=t$. Bei

${}\left\langle P,v\right\rangle =-\left\langle P,w\right\rangle \,$

folgt mit einer ähnlichen Überlegung ${}s=-t$.

$\Box$

Satz

Die drei Winkelhalbierenden in einem nichtausgearteten Dreieck

treffen sich in einem gemeinsamen Schnittpunkt, der zu jeder Seite des Dreiecks den gleichen Abstand.

Wenn die Eckpunkte durch ${}A={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}},C={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}$ und die Seitenlängen mit ${}a=d(B,C),b=d(A,C),c=d(A,B)$ bezeichnet werden, so besitzt dieser Schnittpunkt die Koordinaten

${\frac {1}{a+b+c}}{\begin{pmatrix}aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\\aa_{2}+bb_{2}+cc_{2}\end{pmatrix}}.$

Beweis

Nach Fakt besteht die Winkelhalbierende zu ${}A$ aus Punkten, die zu den anliegenden Seiten(geraden) ${}\mathbb {R} {\overrightarrow {AB}}$ und ${}\mathbb {R} {\overrightarrow {AC}}$ den gleichen Abstand haben. Ebenso besteht die Winkelhalbierende zu ${}B$ aus Punkten, die zu den anliegenden Seiten(geraden) ${}\mathbb {R} {\overrightarrow {BA}}$ und ${}\mathbb {R} {\overrightarrow {BC}}$ den gleichen Abstand haben. Daher besitzt der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden, den es geben muss, zu allen drei Seiten den gleichen Abstand. Darüber hinaus stimmt das Skalarprodukt von diesem Schnittpunkt mit den drei normierten Seitenvektoren überein, wie der Beweis zu Fakt zeigt. Wiederum wegen Fakt muss er dann auch auf der dritten Winkelhalbierenden liegen.

Zur Koordinatenbestimmung schreiben wir die Winkelhalbierende durch ${}A$ als

$A+s{\left({\frac {\overrightarrow {AB}}{c}}+{\frac {\overrightarrow {AC}}{b}}\right)}$

bzw.

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+s{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{b}}{\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\right)}.$

Die Gleichsetzung mit der Winkelhalbierenden durch ${}B$ führt auf

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+s{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{b}}{\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\right)}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}+t{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\a_{2}-b_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{a}}{\begin{pmatrix}c_{1}-b_{1}\\c_{2}-b_{2}\end{pmatrix}}\right)}\,.$

Die Lösung ist durch

${}s={\frac {bc}{a+b+c}}\,$

und

${}t={\frac {ac}{a+b+c}}\,$

gegeben, da dies eingesetzt jeweils zu

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {bc}{a+b+c}}{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{b}}{\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\right)}&={\frac {1}{a+b+c}}{\begin{pmatrix}a_{1}(a+b+c)+b(b_{1}-a_{1})+c(c_{1}-a_{1})\\a_{2}(a+b+c)+b(b_{2}-a_{2})+c(c_{2}-a_{2})\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{a+b+c}}{\begin{pmatrix}aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\\aa_{2}+bb_{2}+cc_{2}\end{pmatrix}}\,\end{aligned}}$

führt. Dies ist also der Schnittpunkt, und zwar von allen drei Winkelhalbierenden.

$\Box$

Definition

Der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden in einem nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene heißt Inkreismittelpunkt.

Der Kreis um den Inkreismittelpunkt, der die drei Seiten des Dreiecks tangential trifft, heißt entsprechend Inkreis.