Es sei
K
{\displaystyle {}K}
ein
Körper und sei
V
{\displaystyle {}V}
ein
n
{\displaystyle {}n}
-dimensionaler
K
{\displaystyle {}K}
-Vektorraum
mit einer
Basis
v
=
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle {}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}}
und sei
W
{\displaystyle {}W}
ein
m
{\displaystyle {}m}
-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
w
=
w
1
,
…
,
w
m
{\displaystyle {}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}}
.
Es seien
v
1
∗
,
…
,
v
n
∗
{\displaystyle {}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}}
bzw.
w
1
∗
,
…
,
w
m
∗
{\displaystyle {}w_{1}^{*},\ldots ,w_{m}^{*}}
die zugehörigen
Dualbasen .
Es sei
φ
:
V
⟶
W
{\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}
eine
lineare Abbildung ,
die bezüglich der gegebenen Basen durch die
m
×
n
{\displaystyle {}m\times n}
-Matrix
M
=
M
w
v
(
φ
)
=
(
a
i
j
)
i
j
{\displaystyle {}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,}
beschrieben werde. Dann wird die
duale Abbildung
φ
∗
:
W
∗
⟶
V
∗
{\displaystyle \varphi ^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}}
bezüglich der Dualbasen von
V
∗
{\displaystyle {}{V}^{*}}
bzw.
W
∗
{\displaystyle {}{W}^{*}}
durch die
transponierte Matrix
(
M
w
v
(
φ
)
)
tr
{\displaystyle {}{{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\right)}^{\text{tr}}}}
beschrieben.