Ebene/Geraden/Einführung/Textabschnitt

Wir betrachten Geraden in der Ebene $K^2$. Unter der Gleichungsform einer Geraden in der Ebene versteht man eine lineare Gleichung der Form

$ax+by=c$

mit  $(a,b)\ne (0,0)$.  Es ist einfach, aus der Gleichungsform eine Punktrichtungsform zu erhalten.

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und sei

$ax+by=c$

eine lineare Gleichung in zwei Variablen über $K$ mit  $(a,b)\ne 0$. 

Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade in $K^2$. Als Richtungsvektor kann man den Vektor $\left(\begin{array}{c}b\\ -a\end{array}\right)$ nehmen.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, da $\left(\begin{array}{c}b\\ -a\end{array}\right)$ eine Basislösung der zugehörigen homogenen linearen Gleichung  $ax+by=0$  ist.

$◻$

Korollar

Es seien im $K^2$ zwei Geraden $G$ und $H$ in Gleichungsform durch

$ax+by=c$

bzw.

$rx+sy=d$

(mit $(a,b)\ne (0,0)$ und $(r,s)\ne (0,0)$) gegeben.

Dann ist der Durchschnitt $G\cap H$ der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems, das aus diesen beiden Gleichungen besteht. Dabei gibt es die drei Möglichkeiten:

1. Es ist  $G=H$. 
2. Es ist  $G\cap H=\mathrm{\varnothing }$. 
3. Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Im zweiten Fall (manchmal auch im ersten Fall) spricht man von parallelen Geraden. Der dritte Fall tritt genau dann ein, wenn zwischen $(a,b)$ und $(r,s)$ keine Vielfachheitsbeziehung besteht.

Beispiel

Wir berechnen zu den durch

$4x-7y=13$

bzw.

$5x-8y=-9$

gegebenen Geraden den Durchschnitt. Wenn man von der zweiten Gleichung das $\frac{5}{4}$-fache der ersten Gleichung abzieht, so erhält man

$(-8+\frac{5}{4}\cdot 7)y=-9-\frac{5}{4}\cdot 13,$

also

$\frac{3}{4}y=-\frac{101}{4}$

und somit

$y=-\frac{101}{3}$

und

$x=-\frac{167}{3}.$

Der Durchschnitt besteht also aus einem einzigen Schnittpunkt mit den Koordinaten $(-\frac{167}{3},-\frac{101}{3})$.