Ebene/Geraden/Einführung/Textabschnitt

Wir betrachten Geraden in der Ebene ${}K^{2}$ . Unter der Gleichungsform einer Geraden in der Ebene versteht man eine lineare Gleichung der Form

{}ax+by=c\,

mit ${}(a,b)\neq (0,0)$ . Es ist einfach, aus der Gleichungsform eine Punktrichtungsform zu erhalten.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

{}ax+by=c\,

eine lineare Gleichung in zwei Variablen über ${}K$ mit ${}(a,b)\neq 0$ .

Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade in ${}K^{2}$ . Als Richtungsvektor kann man den Vektor ${}{\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, da ${}{\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}}$ eine Basislösung der zugehörigen homogenen linearen Gleichung ${}ax+by=0$ ist.

\Box

Korollar

Es seien im ${}K^{2}$ zwei Geraden ${}G$ und ${}H$ in Gleichungsform durch

{}ax+by=c\,

bzw.

{}rx+sy=d\,

(mit $(a,b)\neq (0,0)$ und $(r,s)\neq (0,0)$ ) gegeben.

Dann ist der Durchschnitt ${}G\cap H$ der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems, das aus diesen beiden Gleichungen besteht. Dabei gibt es die drei Möglichkeiten:

Es ist ${}G=H$ .

Es ist ${}G\cap H=\emptyset$ .

Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

\Box

Im zweiten Fall (manchmal auch im ersten Fall) spricht man von parallelen Geraden. Der dritte Fall tritt genau dann ein, wenn zwischen ${}(a,b)$ und ${}(r,s)$ keine Vielfachheitsbeziehung besteht.