Ebene/Geraden/Einführung/Textabschnitt

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Wir betrachten Geraden in der Ebene . Unter der Gleichungsform einer Geraden in der Ebene versteht man eine lineare Gleichung der Form

mit . Es ist einfach, aus der Gleichungsform eine Punktrichtungsform zu erhalten.



Korollar  

Es sei ein Körper und sei

eine lineare Gleichung in zwei Variablen über mit .

Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade in . Als Richtungsvektor kann man den Vektor nehmen.

Beweis  

Dies folgt aus Fakt, da eine Basislösung der zugehörigen homogenen linearen Gleichung ist.


Two parallel lines a b.svg
OpenMeanderM1.svg



Korollar

Es seien im zwei Geraden und in Gleichungsform durch

bzw.

(mit und ) gegeben.

Dann ist der Durchschnitt der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems, das aus diesen beiden Gleichungen besteht. Dabei gibt es die drei Möglichkeiten:

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

Im zweiten Fall (manchmal auch im ersten Fall) spricht man von parallelen Geraden. Der dritte Fall tritt genau dann ein, wenn zwischen und keine Vielfachheitsbeziehung besteht.


Beispiel  

Wir berechnen zu den durch

bzw.

gegebenen Geraden den Durchschnitt. Wenn man von der zweiten Gleichung das -fache der ersten Gleichung abzieht, so erhält man

also

und somit

und

Der Durchschnitt besteht also aus einem einzigen Schnittpunkt mit den Koordinaten .