Ebene Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei eine einfache Singularität gegeben. Wenn der Rang der Hessematrix gleich ${}2$ oder gleich ${}1$ ist, so zeigen Fakt bzw. Fakt, dass die Singularität rechtsäquivalent zu einer ${}A$-Singularität ist. Es sei der Rang der Hessematrix also gleich ${}0$. Nach Fakt hat das dritte Taylorpolynom nach einer linearen Transformation die Form

$0{\text{ oder }}x^{2}y+y^{3}{\text{ oder }}x^{2}y{\text{ oder }}x^{3}.$

Im Fall ${}x^{2}y$ liegt nach Fakt eine ${}D_{k}$-Singularität mit ${}k\geq 5$ vor. Im Fall ${}x^{3}$ liegt nach Fakt eine ${}E$-Singularität vor. Im Fall ${}0$ kann die Singularität nach nicht einfach sein. Es liege also der Fall ${}x^{2}y+y^{3}$ vor. Das Jacobiideal hat die Form

${}J_{f}\subseteq {\left(2xy+h,x^{2}+3y^{2}+g\right)}\,$

mit ${}h,g\in {\mathfrak {m}}^{3}$. Somit enthält das Produktideal ${}{\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}$ Elemente der Form

$x^{3}y+h_{1},\,x^{2}y^{2}+h_{2},\,xy^{3}+h_{3},\,x^{4}+3x^{2}y^{2}+h_{4},\,x^{2}y^{2}+3y^{4}+h_{4}$

mit ${}h_{j}\in {\mathfrak {m}}^{5}$. Also gilt

${}{\mathfrak {m}}^{4}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{5}\,.$

Daher ist ${}f$ nach Fakt ${}3$-bestimmt, und somit ist es rechtsäquivalent zu ${}x^{2}y+y^{3}$ selbst, was den ${}D_{4}$-Typ ergibt.

Zur bewiesenen Aussage