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Ebene Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei eine einfache Singularität gegeben. Wenn der Rang der Hessematrix gleich oder gleich ist, so zeigen Fakt bzw. Fakt, dass die Singularität rechtsäquivalent zu einer -Singularität ist. Es sei der Rang der Hessematrix also gleich . Nach Fakt hat das dritte Taylorpolynom nach einer linearen Transformation die Form

Im Fall liegt nach Fakt eine -Singularität mit vor. Im Fall liegt nach Fakt eine -Singularität vor. Im Fall kann die Singularität nach nicht einfach sein. Es liege also der Fall vor. Das Jacobiideal hat die Form

mit . Somit enthält das Produktideal Elemente der Form

mit . Also gilt

Daher ist nach Fakt -bestimmt, und somit ist es rechtsäquivalent zu selbst, was den -Typ ergibt.