Beweis
Es sei eine einfache Singularität gegeben. Wenn der Rang der Hessematrix gleich
oder gleich
ist, so zeigen
Fakt
bzw.
Fakt,
dass die Singularität rechtsäquivalent zu einer
-Singularität ist. Es sei der Rang der Hessematrix also gleich
. Nach
Fakt
hat das dritte Taylorpolynom nach einer linearen Transformation die Form
-
Im Fall
liegt nach
Fakt
eine
-Singularität mit
vor. Im Fall
liegt nach
Fakt
eine
-Singularität vor. Im Fall
kann die Singularität nach nicht einfach sein. Es liege also der Fall
vor. Das
Jacobiideal
hat die Form
-
![{\displaystyle {}J_{f}\subseteq {\left(2xy+h,x^{2}+3y^{2}+g\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0a4cce5ce5d78c430081a02751ca901f109f06)
mit
.
Somit enthält das Produktideal
Elemente der Form
-
mit
.
Also gilt
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{4}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{5}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7403b5f33e64e683832e4dcc7bed5990c1951f42)
Daher ist
nach
Fakt
-bestimmt, und somit ist es rechtsäquivalent zu
selbst, was den
-Typ ergibt.