Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Anzahl/Identität-Frobeniuspotenz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können die Situation direkt über ${𝔽}_{q^n}$ auffassen, d.h. wir können  $n=1$  annehmen. Die Punkte aus $E({𝔽}_q)$ entsprechen nach Fakt den Fixpunkten unter $\mathrm{\Phi }$ auf  $\bar{E}=E_{\overline{{𝔽}_q}}$.  Wegen Fakt ist auch

${\mathrm{Id}}_{\bar{E}}-\mathrm{\Phi }:\bar{E}⟶\bar{E}$

eine Isogenie. Die Fixpunkte von $\mathrm{\Phi }$ auf $\bar{E}$ sind somit der Kern von ${\mathrm{Id}}_{\bar{E}}-\mathrm{\Phi }$ und dieser besteht insbesondere nur aus ${𝔽}_{q^n}$-Punkten. Diese Abbildung ist nach Fakt separabel und daher ist die Anzahl der Elemente im Kern nach Fakt gleich dem Grad von ${\mathrm{Id}}_{\bar{E}}-\mathrm{\Phi }$.

Zur bewiesenen Aussage