Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Anzahl/Identität-Frobeniuspotenz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können die Situation direkt über ${}{\mathbb {F} }_{q^{n}}$ auffassen, d.h. wir können ${}n=1$ annehmen. Die Punkte aus ${}E({\mathbb {F} }_{q})$ entsprechen nach Fakt den Fixpunkten unter ${}\Phi$ auf ${}{\overline {E}}=E_{\overline {{\mathbb {F} }_{q}}}$. Wegen Fakt ist auch

$\operatorname {Id} _{\overline {E}}-\Phi \colon {\overline {E}}\longrightarrow {\overline {E}}$

eine Isogenie. Die Fixpunkte von ${}\Phi$ auf ${}{\overline {E}}$ sind somit der Kern von ${}\operatorname {Id} _{\overline {E}}-\Phi$ und dieser besteht insbesondere nur aus ${}{\mathbb {F} }_{q^{n}}$-Punkten. Diese Abbildung ist nach Fakt separabel und daher ist die Anzahl der Elemente im Kern nach Fakt gleich dem Grad von ${}\operatorname {Id} _{\overline {E}}-\Phi$.

Zur bewiesenen Aussage