Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Torsion/Fakt/Beweis

Beweis

Die Punkte ${}(0,0),\,(n,0),\,(-n,0),\,{\mathfrak {O}}$ sind vier Punkte, die die angegebene Gruppe bilden, siehe Fakt. Es ist zu zeigen, dass es darüber hinaus keine weiteren Torsionselemente gibt. Nehmen wir an, dass es weitere Torsionspunkte gibt. Dann gibt es ein Torsionselement ungerader Ordnung oder aber, wenn es kein Torsionselement ungerader Ordnung gibt, ein weiteres Torsionselement, dessen Ordnung eine Zweierpotenz ist. Im ersten Fall besitzt ${}E(\mathbb {Q} )$ eine Untergruppe ungerader Ordnung und im zweiten Fall eine Untergruppe der Ordnung ${}8$. Es sei

${}H=\{P_{1},\ldots ,P_{m}\}\subseteq E(\mathbb {Q} )\,$

diese endliche Untergruppe. Nach Fakt und Fakt ist für jede hinreichend große Primzahl ${}p$ die Einschränkung der natürlichen Abbildung

$E(\mathbb {Q} )\longrightarrow E(\mathbb {Z} /(p))$

auf ${}H$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus und daher enthält ${}E(\mathbb {Z} /(p))$ eine zu ${}H$ isomorphe Untergruppe. Nach Beispiel besitzt ${}E(\mathbb {Z} /(p))$ für

${}p=3\mod 4\,$

genau ${}p+1$ Punkte. Für diese Primzahlen muss also ${}m$ nach Fakt ein Teiler von ${}p+1$ sein, also

${}p=-1\mod m\,$

gelten. Im ersten Fall, also bei ${}m$ ungerade, führt jede hinreichend große Primzahl, die modulo ${}4$ den Rest ${}3$ und modulo ${}m$ den Rest ${}1$ besitzt, zu einem Widerspruch. Im zweiten Fall, also bei ${}m=8$, führt jede Primzahl

${}p=3\mod 8\,$

zu einem Widerspruch. Nach dem Satz von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Progressionen gibt es jeweils unendlich viele Primzahlen mit den geforderten Eigenschaften, sodass sich also stets ein Widerspruch ergibt.

Zur bewiesenen Aussage