Endliche Algebra/Separabel/Ableitung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Körper. Ein Polynom heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen besitzt.


Definition  

Eine endliche Körpererweiterung heißt separabel, wenn für jedes Element das Minimalpolynom separabel ist.



Lemma  

Es sei ein Körper und mit einem normierten Polynom . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. und erzeugen das Einheitsideal.
  2. Zu jeder Körpererweiterung besitzt in nur einfache Nullstellen.
  3. Zu jeder Körpererweiterung ist reduziert.
  4. ist ein Produkt von Körpern und die Körpererweiterungen sind separabel.

Beweis  



Definition  

Ein Körper heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom separabel ist.