Endliche Algebra/Separabel/Ableitung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein Körper. Ein Polynom heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen besitzt.
Definition
Eine endliche Körpererweiterung heißt separabel, wenn für jedes Element das Minimalpolynom separabel ist.
Lemma
Es sei ein Körper und mit einem normierten Polynom . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- und erzeugen das Einheitsideal.
- Zu jeder Körpererweiterung besitzt in nur einfache Nullstellen.
- Zu jeder Körpererweiterung ist reduziert.
- ist ein Produkt von Körpern und die Körpererweiterungen sind separabel.
Beweis
Definition
Ein Körper heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom separabel ist.