Endliche Algebra/Separabel/Ableitung/Textabschnitt
Es sei ein Körper. Ein Polynom heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen besitzt.
![{\displaystyle {}P\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4692e3ffcbd66e900f8975113ff3f32f1cabc21a)
Eine endliche Körpererweiterung heißt separabel, wenn für jedes Element das Minimalpolynom separabel ist.
Lemma
Es sei ein Körper und mit einem normierten Polynom . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
![{\displaystyle {}A=K[X]/(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eff2a8c4db2b85431d4a81a0bb7cc362f1e822a)
![{\displaystyle {}F\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50220ae49fd4c5cc329970fc12b301c78efa889b)
- und erzeugen das Einheitsideal.
- Zu jeder Körpererweiterung besitzt in nur einfache Nullstellen.
- Zu jeder Körpererweiterung ist reduziert.
- ist ein Produkt von Körpern und die Körpererweiterungen sind separabel.
![{\displaystyle {}A\otimes _{K}L=L[X]/(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526711be665aeda0c4f57b37b5047f3b5cc2bc54)
Beweis
Es sei ein Körper der Charakteristik und
Dann ist das Polynom
irreduzibel und
![{\displaystyle {}K\subset K[X]/\left(X^{p}-t\right)=L\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0faa54477c383f26346ab61c5733d0041f6ef12)
ist eine endliche Körpererweiterung. Es ist und somit erzeugen nicht das Einheitsideal. Als Körper ist reduziert. Die Tensorierung dieser Körperweiterung mit sich selbst ergibt den nichtreduzierten Ring
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}L\otimes _{K}L&=K[X,Y]/\left(X^{p}-t,Y^{p}-t\right)\\&=K[X,Y]/\left(X^{p}-t,Y^{p}-X^{p}\right)\\&=K[X,Y]/\left(X^{p}-t,(Y-X)^{p}\right)\\&\cong L[U]/\left(U^{p}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f6f650452166446804ce5eeefe1a71e0b1b602)
in Einklang mit Fakt.
Ein Körper heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom separabel ist.
Lemma
Es sei ein vollkommener Körper und mit einem normierten Polynom . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- und erzeugen das Einheitsideal.
- ist reduziert.
- ist ein Produkt von Körpern .
Beweis
Aufgrund der Vollkommenheit ist die Separabilität der Körpererweiterungen in Fakt (4) erfüllt, woraus die anderen Eigenschaften folgen.