Endliche Galoiserweiterung/Übertragung auf Kompositum/Fakt/Beweis

Beweis

Die Erweiterung  $K^{\prime }\subseteq L^{\prime }$  ist normal nach Fakt und separabel nach Fakt, also eine Galoiserweiterung aufgrund von Fakt.
Zur Berechnung der Galoisgruppe gehen wir von der Einschränkungsabbildung

$\mathrm{\Psi }:\mathrm{Gal}(L^{\prime }/K^{\prime })⟶\mathrm{Gal}(L/K),\phi ⟼\phi {|}_L,$

aus, die wegen der Normalität von  $K\subseteq L$  nach Fakt  (4) ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist. Es sei $\phi \in \mathrm{Gal}(L^{\prime }/K^{\prime })$ ein Automorphismus, dessen Bild unter diesem Homomorphismus trivial sei, also  $\phi {|}_L={\mathrm{Id}}_L$.  Da auch  $\phi {|}_{K^{\prime }}={\mathrm{Id}}_{K^{\prime }}$  gilt, ist $\phi$ auf dem Kompositum  $L^{\prime }=L{K}^{\prime }$  die Identität, also das neutrale Element. Daher ist $\mathrm{\Psi }$ nach dem Kernkriterium injektiv.
Das Bild von $\mathrm{\Psi }$ ist eine Untergruppe  $H=\mathrm{bild}\mathrm{\Psi }\subseteq \mathrm{Gal}(L/K)$.  Aufgrund der Galoiskorrespondenz gibt es einen Zwischenkörper $Z$, $K\subseteq Z\subseteq L$, mit  $H=\mathrm{Gal}(L/Z)$,  und zwar ist $Z$ der Fixkörper von $H$. Es liegt also insgesamt die Situation

$\mathrm{Gal}(L^{\prime }/K^{\prime })\stackrel{\cong }{⟶}\mathrm{bild}\mathrm{\Psi }=H=\mathrm{Gal}(L/Z)\subseteq \mathrm{Gal}(L/K)$

vor. Wir behaupten  $L\cap K^{\prime }=Z$.  Für jedes $\phi \in \mathrm{Gal}(L^{\prime }/K^{\prime })$ ist  $\phi {|}_{K^{\prime }}={\mathrm{Id}}_{K^{\prime }}$,  und daher ist auch  $(\phi {|}_L){|}_{L\cap K^{\prime }}={\mathrm{Id}}_{L\cap K^{\prime }}$.  Also ist  $L\cap K^{\prime }\subseteq Z$.  Wenn $x\in Z$ ist, so bedeutet dies, dass für jedes $\phi \in \mathrm{Gal}(L^{\prime }/K^{\prime })$ die Gleichheit  $(\phi {|}_L)(x)=x$  gilt. Dann ist aber $x\in K^{\prime }$ nach Fakt, da  $K^{\prime }\subseteq L^{\prime }$  eine Galoiserweiterung ist. Somit ist $x\in L\cap K^{\prime }$. Insgesamt ist also

$\mathrm{Gal}(L^{\prime }/K^{\prime })\cong \mathrm{bild}\mathrm{\Psi }=\mathrm{Gal}(L/L\cap K^{\prime }).$

Zur bewiesenen Aussage