Beweis
Die Erweiterung
ist
normal
nach
Fakt
und
separabel
nach
Fakt,
also eine
Galoiserweiterung
aufgrund von
Fakt.
Zur Berechnung der Galoisgruppe gehen wir von der Einschränkungsabbildung
-
aus, die wegen der
Normalität
von
nach
Fakt (4)
ein wohldefinierter
Gruppenhomomorphismus
ist.
Es sei
ein Automorphismus, dessen Bild unter diesem Homomorphismus trivial sei, also
.
Da auch
gilt, ist
auf dem Kompositum
die Identität, also das neutrale Element. Daher ist
nach
dem Kernkriterium
injektiv.
Das
Bild
von
ist eine Untergruppe
.
Aufgrund
der Galoiskorrespondenz
gibt es einen Zwischenkörper
,
,
mit
,
und zwar ist
der
Fixkörper
von
. Es liegt also insgesamt die Situation
-
vor. Wir behaupten
.
Für jedes
ist
,
und daher ist auch
.
Also ist
.
Wenn
ist, so bedeutet dies, dass für jedes
die Gleichheit
gilt. Dann ist aber
nach
Fakt,
da
eine
Galoiserweiterung
ist. Somit ist
. Insgesamt ist also
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L'{|}K')\cong \operatorname {bild} \Psi =\operatorname {Gal} \,(L{|}L\cap K')\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a67930340da265b9bdfe332227fa509864ed6d8b)