Endliche Galoiserweiterung/Übertragung auf Kompositum/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Erweiterung ist normal nach Fakt und separabel nach Fakt, also eine Galoiserweiterung aufgrund von Fakt.
Zur Berechnung der Galoisgruppe gehen wir von der Einschränkungsabbildung

aus, die wegen der Normalität von nach Fakt  (4) ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist. Es sei ein Automorphismus, dessen Bild unter diesem Homomorphismus trivial sei, also . Da auch gilt, ist auf dem Kompositum die Identität, also das neutrale Element. Daher ist nach dem Kernkriterium injektiv.
Das Bild von ist eine Untergruppe . Aufgrund der Galoiskorrespondenz gibt es einen Zwischenkörper , , mit , und zwar ist der Fixkörper von . Es liegt also insgesamt die Situation

vor. Wir behaupten . Für jedes ist , und daher ist auch . Also ist . Wenn ist, so bedeutet dies, dass für jedes die Gleichheit gilt. Dann ist aber nach Fakt, da eine Galoiserweiterung ist. Somit ist . Insgesamt ist also