Endliche Galoiserweiterung/Übertragung auf Kompositum/Fakt/Beweis

Beweis

Die Erweiterung ${}K'\subseteq L'$ ist normal nach Fakt und separabel nach Fakt, also eine Galoiserweiterung aufgrund von Fakt.
Zur Berechnung der Galoisgruppe gehen wir von der Einschränkungsabbildung

$\Psi \colon \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K),\,\varphi \longmapsto \varphi {|}_{L},$

aus, die wegen der Normalität von ${}K\subseteq L$ nach Fakt  (4) ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist. Es sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')$ ein Automorphismus, dessen Bild unter diesem Homomorphismus trivial sei, also ${}\varphi {|}_{L}=\operatorname {Id} _{L}$. Da auch ${}\varphi {|}_{K'}=\operatorname {Id} _{K'}$ gilt, ist ${}\varphi$ auf dem Kompositum ${}L'=LK'$ die Identität, also das neutrale Element. Daher ist ${}\Psi$ nach dem Kernkriterium injektiv.
Das Bild von ${}\Psi$ ist eine Untergruppe ${}H=\operatorname {bild} \Psi \subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Aufgrund der Galoiskorrespondenz gibt es einen Zwischenkörper ${}Z$, ${}K\subseteq Z\subseteq L$, mit ${}H=\operatorname {Gal} \,(L{|}Z)$, und zwar ist ${}Z$ der Fixkörper von ${}H$. Es liegt also insgesamt die Situation

$\operatorname {Gal} \,(L'{|}K'){\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \Psi =H=\operatorname {Gal} \,(L{|}Z)\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$

vor. Wir behaupten ${}L\cap K'=Z$. Für jedes ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')$ ist ${}\varphi {|}_{K'}=\operatorname {Id} _{K'}$, und daher ist auch ${}(\varphi {|}_{L}){|}_{L\cap K'}=\operatorname {Id} _{L\cap K'}$. Also ist ${}L\cap K'\subseteq Z$. Wenn ${}x\in Z$ ist, so bedeutet dies, dass für jedes ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')$ die Gleichheit ${}(\varphi {|}_{L})(x)=x$ gilt. Dann ist aber ${}x\in K'$ nach Fakt, da ${}K'\subseteq L'$ eine Galoiserweiterung ist. Somit ist ${}x\in L\cap K'$. Insgesamt ist also

${}\operatorname {Gal} \,(L'{|}K')\cong \operatorname {bild} \Psi =\operatorname {Gal} \,(L{|}L\cap K')\,.$

Zur bewiesenen Aussage