Es sei
V
{\displaystyle {}V}
K
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }}
Vektorraum
mit
Skalarprodukt .
Ein Endomorphismus
φ
:
V
⟶
V
{\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}
induziert dann mit Hilfe des Skalarproduktes eine Form
Ψ
φ
{\displaystyle {}\Psi _{\varphi }}
Ψ
φ
(
v
,
w
)
=
⟨
φ
(
v
)
,
w
⟩
{\displaystyle {}\Psi _{\varphi }(v,w)=\left\langle \varphi (v),w\right\rangle \,}
definiert ist. Dafür gelten die folgenden Eigenschaften.
(1). Es ist
ψ
φ
(
a
v
1
+
b
v
2
,
w
)
=
⟨
φ
(
a
v
1
+
b
v
2
)
,
w
⟩
=
⟨
a
φ
(
v
1
)
+
b
φ
(
v
2
)
,
w
⟩
=
a
⟨
φ
(
v
1
)
,
w
⟩
+
b
⟨
φ
(
v
2
)
,
w
⟩
=
a
ψ
φ
(
v
1
,
w
)
+
b
ψ
φ
(
v
2
,
w
)
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\psi _{\varphi }(av_{1}+bv_{2},w)&=\left\langle \varphi (av_{1}+bv_{2}),w\right\rangle \\&=\left\langle a\varphi (v_{1})+b\varphi (v_{2}),w\right\rangle \\&=a\left\langle \varphi (v_{1}),w\right\rangle +b\left\langle \varphi (v_{2}),w\right\rangle \\&=a\psi _{\varphi }(v_{1},w)+b\psi _{\varphi }(v_{2},w)\end{aligned}}}
und
ψ
φ
(
v
,
a
w
1
+
b
w
2
)
=
⟨
φ
(
v
)
,
a
w
1
+
b
w
2
⟩
=
a
¯
⟨
φ
(
v
)
,
w
1
⟩
+
b
¯
⟨
φ
(
v
)
,
w
2
⟩
=
a
¯
ψ
φ
(
v
,
w
1
)
+
b
¯
ψ
φ
(
v
,
w
2
)
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\psi _{\varphi }(v,aw_{1}+bw_{2})&=\left\langle \varphi (v),aw_{1}+bw_{2}\right\rangle \\&={\overline {a}}\left\langle \varphi (v),w_{1}\right\rangle +{\overline {b}}\left\langle \varphi (v),w_{2}\right\rangle \\&={\overline {a}}\psi _{\varphi }(v,w_{1})+{\overline {b}}\psi _{\varphi }(v,w_{2}),\end{aligned}}}
also ist die Zuordnung in der ersten Komponente linear und in der zweiten Komponente semilinear. Daher ist
Ψ
φ
{\displaystyle {}\Psi _{\varphi }}
Sesquilinearform .
(2). Die Linearität ergibt sich aus der Linearität des Skalarproduktes in der ersten Komponente. Im endlichdimensionalen Fall stehen links und rechts Vektorräume der Dimension
(
dim
K
(
V
)
)
2
{\displaystyle {}{\left(\dim _{K}{\left(V\right)}\right)}^{2}}
Ψ
φ
=
0
{\displaystyle {}\Psi _{\varphi }=0}
⟨
φ
(
v
)
,
w
⟩
=
0
{\displaystyle {}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =0}
v
,
w
{\displaystyle {}v,w}
⟨
φ
(
v
)
,
φ
(
v
)
⟩
=
0
{\displaystyle {}\left\langle \varphi (v),\varphi (v)\right\rangle =0}
φ
(
v
)
=
0
{\displaystyle {}\varphi (v)=0}
(3). Wenn
φ
{\displaystyle {}\varphi }
v
∈
kern
φ
{\displaystyle {}v\in \operatorname {kern} \varphi }
v
≠
0
{\displaystyle {}v\neq 0}
Ψ
φ
(
v
,
−
)
{\displaystyle {}\Psi _{\varphi }(v,-)}
Ψ
φ
(
−
,
−
)
{\displaystyle {}\Psi _{\varphi }(-,-)}
v
∈
V
{\displaystyle {}v\in V}
v
≠
0
{\displaystyle {}v\neq 0}
⟨
φ
(
v
)
,
−
⟩
{\displaystyle {}\left\langle \varphi (v),-\right\rangle }
φ
(
v
)
=
0
{\displaystyle {}\varphi (v)=0}
φ
{\displaystyle {}\varphi }
(4). Im selbstadjungierten Fall ist
Ψ
φ
(
v
,
w
)
=
⟨
φ
(
v
)
,
w
⟩
=
⟨
v
,
φ
(
w
)
⟩
=
⟨
φ
(
w
)
,
v
⟩
¯
=
Ψ
φ
(
w
,
v
)
¯
.
{\displaystyle {}\Psi _{\varphi }(v,w)=\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\varphi (w)\right\rangle ={\overline {\left\langle \varphi (w),v\right\rangle }}={\overline {\Psi _{\varphi }(w,v)}}\,.}
Die Umkehrung folgt aus
⟨
φ
(
v
)
,
w
⟩
=
Ψ
φ
(
v
,
w
)
=
Ψ
φ
(
w
,
v
)
¯
=
⟨
φ
(
w
)
,
v
⟩
¯
=
⟨
v
,
φ
(
w
)
⟩
.
{\displaystyle {}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\Psi _{\varphi }(v,w)={\overline {\Psi _{\varphi }(w,v)}}={\overline {\left\langle \varphi (w),v\right\rangle }}=\left\langle v,\varphi (w)\right\rangle \,.}
◻
{\displaystyle \Box }
