Endomorphismus/Bilinearform/Einführung/Textabschnitt

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Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt. Ein Endomorphismus

induziert dann mit Hilfe des Skalarproduktes eine Form , die durch

definiert ist. Dafür gelten die folgenden Eigenschaften.


Lemma  

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Durch die Zuordnung

    wird einem Endomorphismus eine Sesquilinearform zugeordnet.

  2. Diese Zuordnung ist linear und bei endlichdimensionalem bijektiv.
  3. Es sei endlichdimensional. Der Endomorphismus ist genau dann bijektiv, wenn nicht ausgeartet ist.
  4. Es sei endlichdimensional. Der Endomorphismus ist genau dann selbstadjungiert, wenn hermitesch ist.

Beweis  

(1). Es ist

und

also ist die Zuordnung in der ersten Komponente linear und in der zweiten Komponente semilinear. Daher ist eine Sesquilinearform.

(2). Die Linearität ergibt sich aus der Linearität des Skalarproduktes in der ersten Komponente. Im endlichdimensionalen Fall stehen links und rechts Vektorräume der Dimension , es genügt also, die Injektivität zu zeigen. Bei ist für alle , so dass insbesondere und somit gilt.

(3). Wenn nicht bijektiv ist, so sei , . Dann ist die Nullabbildung in der zweiten Komponente und die Form ist ausgeartet. Es sei umgekehrt ausgeartet. Dann gibt es einen Vektor , , derart, dass die Nullabbildung ist. Da ein Skalarprodukt nicht ausgeartet ist, folgt und damit ist nicht bijektiv.

(4). Im selbstadjungierten Fall ist

Die Umkehrung folgt aus