Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Es sei

das charakteristische Polynom, das nach Fakt in Linearfaktoren zerfällt, wobei die verschieden seien. Wir führen Induktion über . Bei gibt es nur einen Eigenwert und nur einen Hauptraum. Nach Fakt ist dann auch das Minimalpolynom von der Form und daher ist . Sei die Aussage nun für kleineres bewiesen. Wir setzen und und sind damit in der Situation von Fakt und Fakt. Wir haben also eine direkte Summenzerlegung in -invariante Untervektorräume

Das charakteristische Polynom ist nach Fakt das Produkt der charakteristischen Polynome der Einschränkungen auf die beiden Räume. Nach Fakt

ist das charakteristische Polynom der Einschränkung auf den ersten Hauptraum, daher muss das charakteristische Polynom der Einschränkung auf sein. Das heißt insbesondere, dass diese Einschränkung ebenfalls trigonalisierbar ist. Nach der Induktionsvoraussetzung ist also die direkte Summe der Haupträume zu und daraus ergibt sich insgesamt die direkte Summenzerlegung für und für .
Zur gelösten Aufgabe