Extrema/R^n/Erste Beispiele/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein metrischer Raum und

eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit die Abschätzung

gilt. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit die Abschätzung

gilt.


Definition  

Sei ein metrischer Raum und

eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit  und die Abschätzung

gilt. Man sagt, dass in ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit  und die Abschätzung

gilt.

Ein globales Maximum liegt in vor, wenn für alle ist.


Beispiel  

Die Funktion

hat in den Wert und überall sonst positive Werte, daher liegt in ein (isoliertes) globales Minimum vor.


Wenn die Funktion ein lokales Minimum im Punkt besitzt, so gilt dies auch für die Einschränkung von auf jede Teilmenge , die enthält. Beispielsweise muss ein (lokales) Minimum einer Funktion der Ebene auch auf jeder Geraden durch diesen Punkt ein (lokales) Minimum sein.

Saddle point.png

Dies heißt umgekehrt, dass wenn eine Funktion auf einer Geraden durch ein isoliertes lokales Maximum und auf einer anderen Geraden ein isoliertes lokales Minimum besitzt, dass dann kein lokales Extremum vorliegen kann. Solche Punkte nennt man Sattelpunkt oder Passpunkt, das Standardbeispiel ist das folgende.


Beispiel  

Wir betrachten das Verhalten der Funktion

in . Die Einschränkung dieser Funktion auf die durch gegebene Gerade (also auf der -Achse) ist die Funktion , die in ein (isoliertes) globales Minimum besitzt. Die Einschränkung dieser Funktion auf die durch gegebene Gerade (also auf der -Achse) ist die Funktion , die in ein (isoliertes) globales Maximum besitzt. Daher kann in kein Extremum besitzen. Auf den durch und gegebenen Geraden ist die Funktion die Nullfunktion.


Das folgende Beispiel zeigt, dass zu einer Funktion die Einschränkung auf jede Gerade durch einen Punkt dort ein lokales Minimum haben kann, ohne dass die Funktion dort ein lokales Minimum hat.


Beispiel  

Wir betrachten im die beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und Radius und den Mittelpunkt und Radius habe. liegt innerhalb von , und die beiden Kreise berühren sich in . Durch diese beiden Kreise wird die Ebene (neben den zwei Kreislinien selbst) in drei offene Gebiete aufgeteilt: Das Innere des Kreises (), die große offene Kreisscheibe ohne die kleine abgeschlossene Kreisscheibe () und das Äußere von (). Der innere Kreis wird als Nullstelle der Funktion

beschrieben. Im Innern von ist diese Funktion negativ, auf hat sie den Wert und außerhalb davon hat sie positive Werte. Entsprechendes gilt für und die Funktion . Wir setzen

Diese Funktion nimmt auf den beiden Kreisen den Wert an, sie ist auf positiv, auf negativ und auf wieder positiv.

Die Funktion besitzt in kein lokales Minimum, da sie dort den Wert besitzt und da jede beliebig kleine Ballumgebung den Bereich trifft, wo negative Werte besitzt. Die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch den Nullpunkt besitzt aber dort ein lokales Minimum. Sei dazu eine solche Gerade. Wenn die -Achse ist, so verläuft diese Gerade (bis auf selbst) in , wo nur positive Werte annimmt, so dass in ein (sogar globales) Minimum vorliegt. Sei also eine von der -Achse verschiedene Gerade durch . Die eine Hälfte der Geraden verläuft ganz in , wo die Funktion positiv ist. Die andere Hälfte verläuft, ausgehend von , zuerst in , dann in und schließlich wieder in . Da die Funktion auf positiv ist, kann man ein Teilintervall der Geraden derart wählen, dass dieses Teilstück (abgesehen von ) nur in und verläuft. Auf diesem Teilintervall nimmt die Funktion in den Wert und sonst überall positive Werte an. Daher besitzt die eingeschränkte Funktion ein lokales Minimum. Das dabei zu wählende hängt natürlich wesentlich von der Steigung der Geraden ab, es gibt kein gemeinsames für alle Geraden.