Fundamentalgruppe/Hinblick auf ADE/Einführung/Textabschnitt

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Es sei ein topologischer Raum, den wir als wegzusammenhängend voraussetzen wollen, zu je zwei Punkten gibt es also einen stetigen Weg

mit und .

HomotopySmall.gif

Zwei Wege

heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung (die eine Homotopie zwischen und genannt wird)

gibt, für die

für alle gilt. Zu jedem festen ist ein stetiger Weg von nach . Man schreibt für homotope Wege. Die Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von nach . Ein Weg heißt geschlossen, wenn ist, wenn also der Startpunkt mit dem Endpunkt übereinstimmt. Dieser Punkt heißt dann auch Aufpunkt des Weges. Häufig betrachtet man stetige geschlossene Wege in als stetige Abbildungen .

Zwei stetige geschlossene Wege kann man miteinander verknüpfen, indem man zuerst den einen Weg und anschließend den anderen Weg durchläuft. Als Definitionsbereich erhält man dabei das Intervall . Man kann aber, indem man die beiden Wege doppelt so schnell durchläuft, auch das Einheitsintervall als Definitionsbereich wählen. Wichtig ist, dass zu geschlossenen homotopen Wegen und auch die Verknüpfungen und homotop sind. Dies erlaubt eine Verknüpfung auf der Menge der Äquivalenzklassen von homotopen geschlossenen Wegen mit Aufpunkt , die mit bezeichnet wird. Diese Menge ist mit dem konstanten Weg (also der Homotopieklasse des konstanten Weges) als neutralem Element eine Gruppe, die die Fundamentalgruppe von heißt. Die Assoziativität ist dabei nicht völlig selbstverständlich, da drei geschlossene Weg je nach Klammerung zu unterschiedlichen Wegen auf dem Einheitsintervall führen. Die enstehenden Wege sind aber homotop, so dass auf den Homotopieklassen die Assoziativität gilt. Die inverse Homotopieklasse ist durch den entgegengesetzt durchlaufenen Weg gegeben. Deren Verknüpfung ist in der Tat homotop zum konstanten Weg, oder, wie man auch sagt, nullhomotop.


Definition  

Ein topologischer Raum heißt einfach-zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in nullhomotop ist.

Der einfache Zusammenhang bedeutet, dass ist (für einen beliebigen Aufpunkt ).

Die Fundamentalgruppe der punktierten reellen Ebene ist , man spricht von der Windungszahl des Weges.



Definition  

Ein topologischer Raum heißt kontrahierbar (oder zusammenziehbar) auf einen Punkt , wenn es eine stetige Abbildung

gibt derart, dass die Eigenschaften

  1. ,
  2. ,
  3. für alle

gelten.

Beispielsweise ist der kontrahierbar und nach dem folgenden Satz auch einfach zusammenhängend.


Zu einer stetigen Abbildung

und einem Punkt mit induziert ein stetiger geschlossener Weg mit Aufpunkt einen stetigen geschlossenen Weg in mit Aufpunkt . Diese Zuordnung ist mit Homotopien von Wegen verträglich, d.h. wenn zwei homotope Wege in mit Aufpunkt sind, so sind auch und homotop. Daher gibt es eine wohldefinierte Abbildung

Diese Abbildung ist sogar ein Gruppenhomomorphismus.

Die Berechnung der Fundamentalgruppe ist im Allgemeinen schwierig. Ein wichtiges Hilfsmittel sind Überlagerungen.


Definition  

Es seien und topologische Räume. Eine stetige Abbildung

heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung und eine Familie diskreter topologischer Räume , , derart gibt, dass homöomorph zu (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach verträglich sind.

Zu einer stetigen Abbildung und einem stetigen Weg

nennt man einen stetigen Weg

mit

eine Liftung von . Bei einem geschlossenen Weg verlangt man dabei nicht, dass die Liftung wieder geschlossen ist. Zu einer Überlagerung und einem vorgegebenen Punkt über gibt es eine eindeutige Liftung mit