Fundamentalgruppe/Stetige Abbildung/Funktor/Einführung/Textabschnitt

Zu einer stetigen Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

und einem Punkt ${}x\in X$ mit ${}y=\varphi (x)$ induziert ein stetiger geschlossener Weg ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ mit Aufpunkt ${}x$ einen stetigen geschlossenen Weg ${}\varphi \circ \gamma$ in ${}Y$ mit Aufpunkt ${}y$. Diese Zuordnung ist mit Homotopien von Wegen verträglich, d.h. wenn ${}\gamma \sim \delta$ zwei homotope Wege in ${}X$ mit Aufpunkt ${}x$ sind, so sind auch ${}\varphi \circ \gamma$ und ${}\varphi \circ \delta$ homotop, siehe Aufgabe. Daher gibt es eine wohldefinierte Abbildung

$\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(Y,y).$

Diese Abbildung ist sogar ein Gruppenhomomorphismus.

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$.

Dann definiert die Zuordnung

$\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma$

einen Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(Y,y).$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Dieser Homomorphismus wird mit ${}\pi (\varphi )$ bezeichnet.

Lemma

Es seien ${}X,Y,Z$ topologische Räume, es seien ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und

$\psi \colon Y\longrightarrow Z$

stetige Abbildungen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$ und ${}z=\psi (y)$. Dann erfüllen die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den Fundamentalgruppen die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist

   ${}\pi (\psi \circ \varphi )=\pi (\psi )\circ \pi (\varphi )\,.$

2. Wenn ${}\varphi$ und ${}\psi$ invers zueinander sind (was ${}X=Z$ voraussetzt), so sind ${}\pi (\psi )$ und ${}\pi (\varphi )$ invers zueinander.
3. Wenn ${}\varphi$ ein Homöomorphismus ist, dann ist ${}\pi (\varphi )$ ein Isomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$