Funktionenfolgen/K/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine Menge und

() eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

(in ) konvergiert.

Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch

eine sogenannte Grenzfunktion definiert.


Selbst wenn (bei ) sämtliche Funktionen stetig sind, muss diese Grenzfunktion nicht stetig sein.


Beispiel  

Es sei und

Für jedes , , konvergiert die Folge gegen und für liegt die konstante Folge zum Wert vor. Die Grenzfunktion ist also

Diese Funktion ist nicht stetig, obwohl alle stetig sind.


Man braucht einen stärkeren Konvergenzbegriff, um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern.


Definition  

Es sei eine Menge und

() eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

derart gibt, dass es zu jedem ein mit

gibt.

Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und die Funktion aus der vorstehenden Definition ist die Grenzfunktion.



Lemma  

Es sei eine Teilmenge und es sei

eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert.

Dann ist stetig.

Beweis  

Sei und vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein mit für alle und alle . Wegen der Stetigkeit von in gibt es ein mit für alle mit . Für diese gilt somit