Funktionenfolgen/K/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $T$ eine Menge und

$f_n:T⟶𝕂,$

($n\in \mathbb{N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes  $x\in T$  die Folge

${(f_n(x))}_{n\in \mathbb{N}}$

(in $𝕂$) konvergiert.

Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch

$f(x):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)$

eine sogenannte Grenzfunktion $f:T\to 𝕂$ definiert.

Selbst wenn (bei $T\subseteq 𝕂$) sämtliche Funktionen $f_n$ stetig sind, muss diese Grenzfunktion nicht stetig sein.

Ein ähnliches Beispiel.

Beispiel

Es sei  $T=[0,1]$  und

$f_n:[0,1]⟶ℝ,x⟼x^n.$

Für jedes $x\in [0,1]$, $x<1$, konvergiert die Folge ${\left(x^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ nach Aufgabe gegen $0$ und für  $x=1$  liegt die konstante Folge zum Wert $1$ vor. Die Grenzfunktion ist also

$f(x)=\{\begin{array}{c}0,\text{ falls }x<1,\\ 1\text{ sonst}.\end{array}$

Diese Funktion ist nicht stetig, obwohl alle $f_n$ stetig sind.

Man braucht einen stärkeren Konvergenzbegriff, um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern.

Definition

Es sei $T$ eine Menge und

$f_n:T⟶𝕂,$

($n\in \mathbb{N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

$f:T⟶𝕂$

derart gibt, dass es zu jedem  $ϵ>0$  ein $n_0$ mit

$d(f_n(x),f(x))\le ϵ\text{ für alle }n\ge n_0\text{ und alle }x\in T$

gibt.

Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und die Funktion $f$ aus der vorstehenden Definition ist die Grenzfunktion.

Lemma

Es sei  $T\subseteq 𝕂$ 

eine Teilmenge und es sei

$f_n:T⟶𝕂$

eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert.

Dann ist $f$ stetig.

Beweis

Sei  $x\in T$  und  $ϵ>0$  vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein $n_0$ mit  $d(f_n(y),f(y))\le ϵ/3$  für alle  $n\ge n_0$  und alle  $y\in T$.  Wegen der Stetigkeit von $f_{n_0}$ in $x$ gibt es ein  $\delta >0$  mit  $d(f_{n_0}(x),f_{n_0}(y))\le ϵ/3$  für alle  $y\in T$  mit  $d(x,y)\le \delta$.  Für diese $y$ gilt somit

$\begin{array}{cc}d(f(x),f(y))& \le d(f(x),f_{n_0}(x))+d(f_{n_0}(x),f_{n_0}(y))+d(f_{n_0}(y),f(y))\\ & \le ϵ/3+ϵ/3+ϵ/3\\ & =ϵ.\end{array}$

$◻$