Funktionentheorie/Automorphismen/C/Einführung/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine ganze Funktion.

Dann ist ${}f$ genau dann ein Polynom, wenn die auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ definierte holomorphe Funktion

${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto f{\left({\frac {1}{w}}\right)},$

im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzt.

Beweis

Wir setzen

${}g(w)=f{\left({\frac {1}{w}}\right)}\,.$

Wenn

${}f=c_{0}+c_{1}z+\cdots +c_{n}z^{n}\,$

ein Polynom ist, so ist

${}g(w)=f{\left({\frac {1}{w}}\right)}=c_{0}+c_{1}w^{-1}+\cdots +c_{n}w^{-n}\,,$

d.h. der Hauptteil der Laurent-Reihe ist endlich. Aus Fakt folgt, dass die Singularität unwesentlich ist.

Wenn ${}g$ in ${}0$ keine wesentliche Singularität besitzt, so ist nach Fakt der Hauptteil der Laurent-Reihe zu ${}g$ in ${}0$ endlich. Wenn

${}f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\,$

die Potenzreihenentwicklung von ${}f$ ist, so ist

${}g(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{-n}\,$

und die Endlichkeit des Hauptteiles von ${}g$ bedeutet eben, dass ${}c_{n}=0$ für ${}n\geq m$ für ein ${}m$ ist. Also ist ${}f$ ein Polynom.

$\Box$

Lemma

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine injektive ganze Funktion.

Dann ist ${}f$ eine affin-lineare Funktion, also von der Form

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto az+b,$

mit ${}a\neq 0$.

Beweis

Wir betrachten ${}g(w)=f{\left({\frac {1}{w}}\right)}$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Diese Funktion ist ebenfalls injektiv. Wir behaupten, dass ${}g$ im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzt. Würde nämlich eine wesentliche Singularität vorliegen, so wäre nach Fakt die Menge ${}g{\left(U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\right)}$ für jedes ${}r>0$ dicht. Nach Fakt ist ${}g{\left(U{\left(1,{\frac {1}{2}}\right)}\right)}$ offen. Es wäre dann

${}g{\left(U{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}\setminus \{0\}\right)}\cap g{\left(U{\left(1,{\frac {1}{2}}\right)}\right)}\neq \emptyset \,,$

was der Injektivität widerspricht. Es liegt also keine wesentliche Singularität vor und nach Fakt muss ${}f$ ein Polynom sein. Wegen injektiv folgt mit Fakt, dass die Ableitung ${}f'$ nullstellenfrei ist. Daher ist ${}f'$ wegen Fakt konstant und somit ist ${}f$ linear.

$\Box$

Satz

Die holomorphen Automorphismen auf ${}{\mathbb {C} }$

sind die affin-linearen Abbildungen

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto az+b,$

mit ${}a\neq 0$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$