Galoisgruppe/Primzahlgrad/Nullstellenbedingung/Permutationsgruppe/Fakt/Beweis

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Beweis

Es seien die reellen Nullstellen und die beiden nichtreellen komplexen Nullstellen. Nach Fakt ist die Galoisgruppe in natürlicher Weise eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen. Wir zeigen, dass es sich um die volle Permutationsgruppe handelt. Die komplexe Konjugation induziert einen -Automorphismus auf , der die reellen Nullstellen unverändert lässt und die beiden nichtreellen Nullstellen und ineinander überführt. Daher bewirkt dieser Automorphismus auf den Nullstellen eine Transposition. Da über irreduzibel ist, ist für jede Nullstelle das Minimalpolynom und daher sind alle Nullstellen zueinander konjugiert. Nach Fakt gibt es somit für je zwei Nullstellen und einen Automorphismus mit . Damit sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt und somit ist die Galoisgruppe die volle Permutationsgruppe.