Galoisgruppe/Primzahlgrad/Nullstellenbedingung/Permutationsgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{p-2}$ die reellen Nullstellen und ${}\alpha _{p-1},\alpha _{p}$ die beiden nichtreellen komplexen Nullstellen. Nach Fakt ist die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(Z(F){|}\mathbb {Q} )$ in natürlicher Weise eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen. Wir zeigen, dass es sich um die volle Permutationsgruppe handelt. Die komplexe Konjugation induziert einen ${}\mathbb {Q}$-Automorphismus auf ${}L$, der die reellen Nullstellen unverändert lässt und die beiden nichtreellen Nullstellen ${}\alpha _{p-1}$ und ${}\alpha _{p}$ ineinander überführt. Daher bewirkt dieser Automorphismus auf den Nullstellen eine Transposition. Da ${}F$ über ${}\mathbb {Q}$ irreduzibel ist, ist ${}F$ für jede Nullstelle das Minimalpolynom und daher sind alle Nullstellen zueinander konjugiert. Nach Fakt gibt es somit für je zwei Nullstellen ${}\alpha$ und ${}\beta$ einen Automorphismus ${}\varphi$ mit ${}\varphi (\alpha )=\beta$. Damit sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt und somit ist die Galoisgruppe die volle Permutationsgruppe.

Zur bewiesenen Aussage